Precalcolo Esempi

$- 2 + 2 \sqrt{3} i$

Passaggio 1

Questa è la forma trigonometrica di un numero complesso dove $| z |$ è il modulo e $θ$ è l'angolo creato sul piano complesso.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Passaggio 2

Il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine sul piano complesso.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dove $z = a + b i$

Passaggio 3

Sostituisci i valori effettivi di $a = - 2$ e $b = 2 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Passaggio 4

Trova $| z |$ .

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Passaggio 4.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- 2)}^{2}}$

Passaggio 4.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$| z | = \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- 2)}^{2}}$

Passaggio 4.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$| z | = \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- 2)}^{2}}$

Passaggio 4.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$| z | = \sqrt{4 \cdot 3 + {(- 2)}^{2}}$

Passaggio 4.2.5

Calcola l'esponente.

$| z | = \sqrt{4 \cdot 3 + {(- 2)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $4$ per $3$ .

$| z | = \sqrt{12 + {(- 2)}^{2}}$

Passaggio 4.3.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{12 + 4}$

Passaggio 4.3.3

Somma $12$ e $4$ .

$| z | = \sqrt{16}$

Passaggio 4.3.4

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$| z | = \sqrt{4^{2}}$

Passaggio 4.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$| z | = 4$

Passaggio 5

L'angolo definito dal punto sul piano complesso è l'inverso della tangente della parte complessa sulla parte reale.

$θ = \arctan (\frac{2 \sqrt{3}}{- 2})$

Passaggio 6

Poiché l'inverso della tangente di $\frac{2 \sqrt{3}}{- 2}$ produce un angolo nel secondo quadrante, il valore dell'angolo è $\frac{2 π}{3}$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 7

Sostituisci i valori di $θ = \frac{2 π}{3}$ e $| z | = 4$ .

$4 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$