Precalcolo Esempi

$e^{x} + 2 = 8 e^{- x}$

Passaggio 1

Sottrai $8 e^{- x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$e^{x} + 2 - 8 e^{- x} = 0$

Passaggio 2

Riscrivi $e^{- x}$ come un elevamento a potenza.

$e^{x} + 2 - 8 {(e^{x})}^{- 1} = 0$

Passaggio 3

Sostituisci $u$ a $e^{x}$ .

$u + 2 - 8 u^{- 1} = 0$

Passaggio 4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + 2 - 8 \frac{1}{u} = 0$

Passaggio 4.2

$- 8$ e $\frac{1}{u}$ .

$u + 2 + \frac{- 8}{u} = 0$

Passaggio 4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$u + 2 - \frac{8}{u} = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $u$ .

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Passaggio 5.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 5.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, 1, u, 1$

Passaggio 5.1.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$u$

Passaggio 5.2

Moltiplica per $u$ ciascun termine in $u + 2 - \frac{8}{u} = 0$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 5.2.1

Moltiplica ogni termine in $u + 2 - \frac{8}{u} = 0$ per $u$ .

$u \cdot u + 2 u - \frac{8}{u} u = 0 u$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.2.1.1

Moltiplica $u$ per $u$ .

$u^{2} + 2 u - \frac{8}{u} u = 0 u$

Passaggio 5.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $u$ .

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Passaggio 5.2.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{8}{u}$ nel numeratore.

$u^{2} + 2 u + \frac{- 8}{u} u = 0 u$

Passaggio 5.2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$u^{2} + 2 u + \frac{- 8}{u} u = 0 u$

Passaggio 5.2.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$u^{2} + 2 u - 8 = 0 u$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica $0$ per $u$ .

$u^{2} + 2 u - 8 = 0$

Passaggio 5.3

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 5.3.1

Scomponi $u^{2} + 2 u - 8$ usando il metodo AC.

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Passaggio 5.3.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 8$ e la cui somma è $2$ .

$- 2, 4$

Passaggio 5.3.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(u - 2) (u + 4) = 0$

Passaggio 5.3.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$u - 2 = 0$

$u + 4 = 0$

Passaggio 5.3.3

Imposta $u - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 5.3.3.1

Imposta $u - 2$ uguale a $0$ .

$u - 2 = 0$

Passaggio 5.3.3.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 2$

Passaggio 5.3.4

Imposta $u + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 5.3.4.1

Imposta $u + 4$ uguale a $0$ .

$u + 4 = 0$

Passaggio 5.3.4.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u = - 4$

Passaggio 5.3.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(u - 2) (u + 4) = 0$ vera.

$u = 2, - 4$

Passaggio 6

Sostituisci $2$ a $u$ in $u = e^{x}$ .

$2 = e^{x}$

Passaggio 7

Risolvi $2 = e^{x}$ .

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Passaggio 7.1

Riscrivi l'equazione come $e^{x} = 2$ .

$e^{x} = 2$

Passaggio 7.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Passaggio 7.3

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 7.3.1

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Passaggio 7.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Passaggio 7.3.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = \ln (2)$

Passaggio 8

Sostituisci $- 4$ a $u$ in $u = e^{x}$ .

$- 4 = e^{x}$

Passaggio 9

Risolvi $- 4 = e^{x}$ .

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Passaggio 9.1

Riscrivi l'equazione come $e^{x} = - 4$ .

$e^{x} = - 4$

Passaggio 9.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 4)$

Passaggio 9.3

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (- 4)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 9.4

Non c'è soluzione per $e^{x} = - 4$

Nessuna soluzione

Passaggio 10

Elenca le soluzioni che rendono vera l'equazione.

$x = \ln (2)$

Passaggio 11

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \ln (2)$

Forma decimale:

$x = 0.69314718 \dots$