Precalcolo Esempi

$2 x^{3} + x^{2} + 4 x - 15$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 2$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 15, \pm 7.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 5, \pm 2.5$

Passaggio 3

Sostituisci $1.5$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $1.5$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $1.5$ nel polinomio.

$2 \cdot {1.5}^{3} + {1.5}^{2} + 4 \cdot 1.5 - 15$

Passaggio 3.2

Eleva $1.5$ alla potenza di $3$ .

$2 \cdot 3.375 + {1.5}^{2} + 4 \cdot 1.5 - 15$

Passaggio 3.3

Moltiplica $2$ per $3.375$ .

$6.75 + {1.5}^{2} + 4 \cdot 1.5 - 15$

Passaggio 3.4

Eleva $1.5$ alla potenza di $2$ .

$6.75 + 2.25 + 4 \cdot 1.5 - 15$

Passaggio 3.5

Somma $6.75$ e $2.25$ .

$9 + 4 \cdot 1.5 - 15$

Passaggio 3.6

Moltiplica $4$ per $1.5$ .

$9 + 6 - 15$

Passaggio 3.7

Somma $9$ e $6$ .

$15 - 15$

Passaggio 3.8

Sottrai $15$ da $15$ .

$0$

Passaggio 4

Poiché $1.5$ è una radice nota, dividi il polinomio per $2 x - 3$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + 4 x - 15}{2 x - 3}$

Passaggio 5

Dividi $2 x^{3} + x^{2} + 4 x - 15$ per $2 x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$2 x$

$3$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$15$

Passaggio 5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$

Passaggio 5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			+	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Passaggio 5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x^{3} - 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Passaggio 5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

Passaggio 5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Passaggio 5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $4 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Passaggio 5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$6 x$

Passaggio 5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $4 x^{2} - 6 x$

				$x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$6 x$

Passaggio 5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$10 x$

Passaggio 5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$10 x$	-	$15$

Passaggio 5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $10 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$	+	$5$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$10 x$	-	$15$

Passaggio 5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$2 x$	+	$5$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$10 x$	-	$15$
							+	$10 x$	-	$15$

Passaggio 5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $10 x - 15$

				$x^{2}$	+	$2 x$	+	$5$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$10 x$	-	$15$
							-	$10 x$	+	$15$

Passaggio 5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$2 x$	+	$5$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$10 x$	-	$15$
							-	$10 x$	+	$15$
										$0$

Passaggio 5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} + 2 x + 5$

Passaggio 6

Scrivi $2 x^{3} + x^{2} + 4 x - 15$ come insieme di fattori.

$(2 x - 3) (x^{2} + 2 x + 5)$