Precalcolo Esempi

$2 x^{3} - 11 x^{2} + 16 x - 7$

Passaggio 1

Scomponi $2 x^{3} - 11 x^{2} + 16 x - 7$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1, \pm 2$

Passaggio 1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 7, \pm 3.5$

Passaggio 1.3

Sostituisci $1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 1.3.1

Sostituisci $1$ nel polinomio.

$2 \cdot 1^{3} - 11 \cdot 1^{2} + 16 \cdot 1 - 7$

Passaggio 1.3.2

Eleva $1$ alla potenza di $3$ .

$2 \cdot 1 - 11 \cdot 1^{2} + 16 \cdot 1 - 7$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 - 11 \cdot 1^{2} + 16 \cdot 1 - 7$

Passaggio 1.3.4

Eleva $1$ alla potenza di $2$ .

$2 - 11 \cdot 1 + 16 \cdot 1 - 7$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $- 11$ per $1$ .

$2 - 11 + 16 \cdot 1 - 7$

Passaggio 1.3.6

Sottrai $11$ da $2$ .

$- 9 + 16 \cdot 1 - 7$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $16$ per $1$ .

$- 9 + 16 - 7$

Passaggio 1.3.8

Somma $- 9$ e $16$ .

$7 - 7$

Passaggio 1.3.9

Sottrai $7$ da $7$ .

$0$

Passaggio 1.4

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{2 x^{3} - 11 x^{2} + 16 x - 7}{x - 1}$

Passaggio 1.5

Dividi $2 x^{3} - 11 x^{2} + 16 x - 7$ per $x - 1$ .

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Passaggio 1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x$

$7$

Passaggio 1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Passaggio 1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x^{3} - 2 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Passaggio 1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$

Passaggio 1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$16 x$

Passaggio 1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 9 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$16 x$

Passaggio 1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$16 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$

Passaggio 1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 9 x^{2} + 9 x$

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$9 x$

Passaggio 1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							+	$7 x$

Passaggio 1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							+	$7 x$	-	$7$

Passaggio 1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $7 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$7$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							+	$7 x$	-	$7$

Passaggio 1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$7$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							+	$7 x$	-	$7$
							+	$7 x$	-	$7$

Passaggio 1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $7 x - 7$

				$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$7$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							+	$7 x$	-	$7$
							-	$7 x$	+	$7$

Passaggio 1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$7$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							+	$7 x$	-	$7$
							-	$7 x$	+	$7$
										$0$

Passaggio 1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$2 x^{2} - 9 x + 7$

Passaggio 1.6

Scrivi $2 x^{3} - 11 x^{2} + 16 x - 7$ come insieme di fattori.

$(x - 1) (2 x^{2} - 9 x + 7)$

Passaggio 2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot 7 = 14$ e la cui somma è $b = - 9$ .

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Passaggio 2.1.1.1

Scomponi $- 9$ da $- 9 x$ .

$(x - 1) (2 x^{2} - 9 (x) + 7)$

Passaggio 2.1.1.2

Riscrivi $- 9$ come $- 2$ più $- 7$ .

$(x - 1) (2 x^{2} + (- 2 - 7) x + 7)$

Passaggio 2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$(x - 1) (2 x^{2} - 2 x - 7 x + 7)$

Passaggio 2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x - 1) ((2 x^{2} - 2 x) - 7 x + 7)$

Passaggio 2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x - 1) (2 x (x - 1) - 7 (x - 1))$

Passaggio 2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x - 1$ .

$(x - 1) ((x - 1) (2 x - 7))$

Passaggio 2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 1) (x - 1) (2 x - 7)$

Passaggio 3

Combina i fattori comuni.

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Passaggio 3.1

Eleva $x - 1$ alla potenza di $1$ .

${(x - 1)}^{1} (x - 1) (2 x - 7)$

Passaggio 3.2

Eleva $x - 1$ alla potenza di $1$ .

${(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1} (2 x - 7)$

Passaggio 3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${(x - 1)}^{1 + 1} (2 x - 7)$

Passaggio 3.4

Somma $1$ e $1$ .

${(x - 1)}^{2} (2 x - 7)$