Precalcolo Esempi

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 17 x + 30$

Passaggio 1

Scomponi $2 x^{3} - 3 x^{2} - 17 x + 30$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 2$

Passaggio 1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 30, \pm 15, \pm 2, \pm 7.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 10, \pm 5, \pm 2.5, \pm 6$

Passaggio 1.3

Sostituisci $2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $2$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 1.3.1

Sostituisci $2$ nel polinomio.

$2 \cdot 2^{3} - 3 \cdot 2^{2} - 17 \cdot 2 + 30$

Passaggio 1.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$2 \cdot 8 - 3 \cdot 2^{2} - 17 \cdot 2 + 30$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $8$ .

$16 - 3 \cdot 2^{2} - 17 \cdot 2 + 30$

Passaggio 1.3.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$16 - 3 \cdot 4 - 17 \cdot 2 + 30$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$16 - 12 - 17 \cdot 2 + 30$

Passaggio 1.3.6

Sottrai $12$ da $16$ .

$4 - 17 \cdot 2 + 30$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $- 17$ per $2$ .

$4 - 34 + 30$

Passaggio 1.3.8

Sottrai $34$ da $4$ .

$- 30 + 30$

Passaggio 1.3.9

Somma $- 30$ e $30$ .

$0$

Passaggio 1.4

Poiché $2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 17 x + 30}{x - 2}$

Passaggio 1.5

Dividi $2 x^{3} - 3 x^{2} - 17 x + 30$ per $x - 2$ .

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Passaggio 1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$2$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$17 x$

$30$

Passaggio 1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Passaggio 1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x^{3} - 4 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Passaggio 1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$x^{2}$

Passaggio 1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$17 x$

Passaggio 1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$17 x$

Passaggio 1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$17 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$

Passaggio 1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} - 2 x$

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$17 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$

Passaggio 1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$17 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$15 x$

Passaggio 1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$17 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$15 x$	+	$30$

Passaggio 1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 15 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$	-	$15$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$17 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$15 x$	+	$30$

Passaggio 1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$	+	$x$	-	$15$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$17 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$15 x$	+	$30$
							-	$15 x$	+	$30$

Passaggio 1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 15 x + 30$

				$2 x^{2}$	+	$x$	-	$15$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$17 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$15 x$	+	$30$
							+	$15 x$	-	$30$

Passaggio 1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$x$	-	$15$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$17 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$15 x$	+	$30$
							+	$15 x$	-	$30$
										$0$

Passaggio 1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$2 x^{2} + x - 15$

Passaggio 1.6

Scrivi $2 x^{3} - 3 x^{2} - 17 x + 30$ come insieme di fattori.

$(x - 2) (2 x^{2} + x - 15)$

Passaggio 2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ e la cui somma è $b = 1$ .

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Passaggio 2.1.1.1

Moltiplica per $1$ .

$(x - 2) (2 x^{2} + 1 x - 15)$

Passaggio 2.1.1.2

Riscrivi $1$ come $- 5$ più $6$ .

$(x - 2) (2 x^{2} + (- 5 + 6) x - 15)$

Passaggio 2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$(x - 2) (2 x^{2} - 5 x + 6 x - 15)$

Passaggio 2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x - 2) ((2 x^{2} - 5 x) + 6 x - 15)$

Passaggio 2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x - 2) (x (2 x - 5) + 3 (2 x - 5))$

Passaggio 2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x - 5$ .

$(x - 2) ((2 x - 5) (x + 3))$

Passaggio 2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 2) (2 x - 5) (x + 3)$