Precalcolo Esempi

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 32 x - 15$

Passaggio 1

Scomponi $2 x^{3} - 3 x^{2} - 32 x - 15$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 2$

Passaggio 1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 15, \pm 7.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 5, \pm 2.5$

Passaggio 1.3

Sostituisci $- 0.5$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 0.5$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $- 0.5$ nel polinomio.

$2 {(- 0.5)}^{3} - 3 {(- 0.5)}^{2} - 32 \cdot - 0.5 - 15$

Passaggio 1.3.2

Eleva $- 0.5$ alla potenza di $3$ .

$2 \cdot - 0.125 - 3 {(- 0.5)}^{2} - 32 \cdot - 0.5 - 15$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 0.125$ .

$- 0.25 - 3 {(- 0.5)}^{2} - 32 \cdot - 0.5 - 15$

Passaggio 1.3.4

Eleva $- 0.5$ alla potenza di $2$ .

$- 0.25 - 3 \cdot 0.25 - 32 \cdot - 0.5 - 15$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $- 3$ per $0.25$ .

$- 0.25 - 0.75 - 32 \cdot - 0.5 - 15$

Passaggio 1.3.6

Sottrai $0.75$ da $- 0.25$ .

$- 1 - 32 \cdot - 0.5 - 15$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $- 32$ per $- 0.5$ .

$- 1 + 16 - 15$

Passaggio 1.3.8

Somma $- 1$ e $16$ .

$15 - 15$

Passaggio 1.3.9

Sottrai $15$ da $15$ .

$0$

Passaggio 1.4

Poiché $- 0.5$ è una radice nota, dividi il polinomio per $2 x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 32 x - 15}{2 x + 1}$

Passaggio 1.5

Dividi $2 x^{3} - 3 x^{2} - 32 x - 15$ per $2 x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$32 x$

$15$

Passaggio 1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Passaggio 1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$32 x$

Passaggio 1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 4 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$32 x$

Passaggio 1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$32 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$2 x$

Passaggio 1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 4 x^{2} - 2 x$

				$x^{2}$	-	$2 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$2 x$

Passaggio 1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$30 x$

Passaggio 1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$30 x$	-	$15$

Passaggio 1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 30 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$30 x$	-	$15$

Passaggio 1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$30 x$	-	$15$
							-	$30 x$	-	$15$

Passaggio 1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 30 x - 15$

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$30 x$	-	$15$
							+	$30 x$	+	$15$

Passaggio 1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$30 x$	-	$15$
							+	$30 x$	+	$15$
										$0$

Passaggio 1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 2 x - 15$

Passaggio 1.6

Scrivi $2 x^{3} - 3 x^{2} - 32 x - 15$ come insieme di fattori.

$(2 x + 1) (x^{2} - 2 x - 15)$

Passaggio 2

Scomponi $x^{2} - 2 x - 15$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi $x^{2} - 2 x - 15$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 15$ e la cui somma è $- 2$ .

$- 5, 3$

Passaggio 2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(2 x + 1) ((x - 5) (x + 3))$

Passaggio 2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(2 x + 1) (x - 5) (x + 3)$