Precalcolo Esempi

$2 x^{3} + 15 x^{2} + 24 x - 16$

Passaggio 1

Scomponi $2 x^{3} + 15 x^{2} + 24 x - 16$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

Passaggio 1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 16, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Passaggio 1.3

Sostituisci $0.5$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $0.5$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 1.3.1

Sostituisci $0.5$ nel polinomio.

$2 \cdot {0.5}^{3} + 15 \cdot {0.5}^{2} + 24 \cdot 0.5 - 16$

Passaggio 1.3.2

Eleva $0.5$ alla potenza di $3$ .

$2 \cdot 0.125 + 15 \cdot {0.5}^{2} + 24 \cdot 0.5 - 16$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $0.125$ .

$0.25 + 15 \cdot {0.5}^{2} + 24 \cdot 0.5 - 16$

Passaggio 1.3.4

Eleva $0.5$ alla potenza di $2$ .

$0.25 + 15 \cdot 0.25 + 24 \cdot 0.5 - 16$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $15$ per $0.25$ .

$0.25 + 3.75 + 24 \cdot 0.5 - 16$

Passaggio 1.3.6

Somma $0.25$ e $3.75$ .

$4 + 24 \cdot 0.5 - 16$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $24$ per $0.5$ .

$4 + 12 - 16$

Passaggio 1.3.8

Somma $4$ e $12$ .

$16 - 16$

Passaggio 1.3.9

Sottrai $16$ da $16$ .

$0$

Passaggio 1.4

Poiché $0.5$ è una radice nota, dividi il polinomio per $2 x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{2 x^{3} + 15 x^{2} + 24 x - 16}{2 x - 1}$

Passaggio 1.5

Dividi $2 x^{3} + 15 x^{2} + 24 x - 16$ per $2 x - 1$ .

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Passaggio 1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$15 x^{2}$

$24 x$

$16$

Passaggio 1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$16 x^{2}$

Passaggio 1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$24 x$

Passaggio 1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $16 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$8 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$24 x$

Passaggio 1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$16 x^{2}$	-	$8 x$

Passaggio 1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $16 x^{2} - 8 x$

				$x^{2}$	+	$8 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$16 x^{2}$	+	$8 x$

Passaggio 1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$16 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$32 x$

Passaggio 1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$16 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$32 x$	-	$16$

Passaggio 1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $32 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$16$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$16 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$32 x$	-	$16$

Passaggio 1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$16$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$16 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$32 x$	-	$16$
							+	$32 x$	-	$16$

Passaggio 1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $32 x - 16$

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$16$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$16 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$32 x$	-	$16$
							-	$32 x$	+	$16$

Passaggio 1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$16$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$16 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$32 x$	-	$16$
							-	$32 x$	+	$16$
										$0$

Passaggio 1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} + 8 x + 16$

Passaggio 1.6

Scrivi $2 x^{3} + 15 x^{2} + 24 x - 16$ come insieme di fattori.

$(2 x - 1) (x^{2} + 8 x + 16)$

Passaggio 2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$(2 x - 1) (x^{2} + 8 x + 4^{2})$

Passaggio 2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Passaggio 2.3

Riscrivi il polinomio.

$(2 x - 1) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})$

Passaggio 2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 4$ .

$(2 x - 1) {(x + 4)}^{2}$