Precalcolo Esempi

$x^{4} - x^{3} - 23 x^{2} - 3 x + 90$

Passaggio 1

Scomponi $x^{4} - x^{3} - 23 x^{2} - 3 x + 90$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 90, \pm 2, \pm 45, \pm 3, \pm 30, \pm 5, \pm 18, \pm 6, \pm 15, \pm 9, \pm 10$

$q = \pm 1$

Passaggio 1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 90, \pm 2, \pm 45, \pm 3, \pm 30, \pm 5, \pm 18, \pm 6, \pm 15, \pm 9, \pm 10$

Passaggio 1.3

Sostituisci $2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $2$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $2$ nel polinomio.

$2^{4} - 2^{3} - 23 \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2 + 90$

Passaggio 1.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$16 - 2^{3} - 23 \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2 + 90$

Passaggio 1.3.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$16 - 1 \cdot 8 - 23 \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2 + 90$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$16 - 8 - 23 \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2 + 90$

Passaggio 1.3.5

Sottrai $8$ da $16$ .

$8 - 23 \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2 + 90$

Passaggio 1.3.6

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$8 - 23 \cdot 4 - 3 \cdot 2 + 90$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $- 23$ per $4$ .

$8 - 92 - 3 \cdot 2 + 90$

Passaggio 1.3.8

Sottrai $92$ da $8$ .

$- 84 - 3 \cdot 2 + 90$

Passaggio 1.3.9

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$- 84 - 6 + 90$

Passaggio 1.3.10

Sottrai $6$ da $- 84$ .

$- 90 + 90$

Passaggio 1.3.11

Somma $- 90$ e $90$ .

$0$

Passaggio 1.4

Poiché $2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{4} - x^{3} - 23 x^{2} - 3 x + 90}{x - 2}$

Passaggio 1.5

Dividi $x^{4} - x^{3} - 23 x^{2} - 3 x + 90$ per $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$23 x^{2}$

$3 x$

$90$

Passaggio 1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{3}$
	$x$	-	$2$		$x^{4}$	-	$x^{3}$	-	$23 x^{2}$	-	$3 x$	+	$90$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{3}$
$x$	-	$2$		$x^{4}$	-	$x^{3}$	-	$23 x^{2}$	-	$3 x$	+	$90$
			+	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$

Passaggio 1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{4} - 2 x^{3}$

				$x^{3}$
$x$	-	$2$		$x^{4}$	-	$x^{3}$	-	$23 x^{2}$	-	$3 x$	+	$90$
			-	$x^{4}$	+	$2 x^{3}$

Passaggio 1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$23 x^{2}$

$3 x$

$90$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

Passaggio 1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$23 x^{2}$

$3 x$

$90$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$23 x^{2}$

Passaggio 1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$23 x^{2}$

$3 x$

$90$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$23 x^{2}$

Passaggio 1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$23 x^{2}$

$3 x$

$90$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$23 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

Passaggio 1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - 2 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$23 x^{2}$

$3 x$

$90$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$23 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

Passaggio 1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$23 x^{2}$

$3 x$

$90$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$23 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$21 x^{2}$

Passaggio 1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$23 x^{2}$

$3 x$

$90$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$23 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$21 x^{2}$

$3 x$

Passaggio 1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 21 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$23 x^{2}$

$3 x$

$90$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$23 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$21 x^{2}$

$3 x$

Passaggio 1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$23 x^{2}$

$3 x$

$90$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$23 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$21 x^{2}$

$3 x$

$21 x^{2}$

$42 x$

Passaggio 1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 21 x^{2} + 42 x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$23 x^{2}$

$3 x$

$90$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$23 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$21 x^{2}$

$3 x$

$21 x^{2}$

$42 x$

Passaggio 1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$23 x^{2}$

$3 x$

$90$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$23 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$21 x^{2}$

$3 x$

$21 x^{2}$

$42 x$

$45 x$

Passaggio 1.5.16

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$23 x^{2}$

$3 x$

$90$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$23 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$21 x^{2}$

$3 x$

$21 x^{2}$

$42 x$

$45 x$

$90$

Passaggio 1.5.17

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 45 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$45$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$23 x^{2}$

$3 x$

$90$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$23 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$21 x^{2}$

$3 x$

$21 x^{2}$

$42 x$

$45 x$

$90$

Passaggio 1.5.18

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$21 x$	-	$45$
$x$	-	$2$		$x^{4}$	-	$x^{3}$	-	$23 x^{2}$	-	$3 x$	+	$90$
			-	$x^{4}$	+	$2 x^{3}$
					+	$x^{3}$	-	$23 x^{2}$
					-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
							-	$21 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$21 x^{2}$	-	$42 x$
									-	$45 x$	+	$90$
									-	$45 x$	+	$90$

Passaggio 1.5.19

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 45 x + 90$

				$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$21 x$	-	$45$
$x$	-	$2$		$x^{4}$	-	$x^{3}$	-	$23 x^{2}$	-	$3 x$	+	$90$
			-	$x^{4}$	+	$2 x^{3}$
					+	$x^{3}$	-	$23 x^{2}$
					-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
							-	$21 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$21 x^{2}$	-	$42 x$
									-	$45 x$	+	$90$
									+	$45 x$	-	$90$

Passaggio 1.5.20

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$21 x$	-	$45$
$x$	-	$2$		$x^{4}$	-	$x^{3}$	-	$23 x^{2}$	-	$3 x$	+	$90$
			-	$x^{4}$	+	$2 x^{3}$
					+	$x^{3}$	-	$23 x^{2}$
					-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
							-	$21 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$21 x^{2}$	-	$42 x$
									-	$45 x$	+	$90$
									+	$45 x$	-	$90$
												$0$

Passaggio 1.5.21

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{3} + x^{2} - 21 x - 45$

Passaggio 1.6

Scrivi $x^{4} - x^{3} - 23 x^{2} - 3 x + 90$ come insieme di fattori.

$(x - 2) (x^{3} + x^{2} - 21 x - 45)$

Passaggio 2

Scomponi $x^{3} + x^{2} - 21 x - 45$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 45, \pm 3, \pm 15, \pm 5, \pm 9$

$q = \pm 1$

Passaggio 2.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 45, \pm 3, \pm 15, \pm 5, \pm 9$

Passaggio 2.3

Sostituisci $- 3$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 3$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sostituisci $- 3$ nel polinomio.

${(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{2} - 21 \cdot - 3 - 45$

Passaggio 2.3.2

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$- 27 + {(- 3)}^{2} - 21 \cdot - 3 - 45$

Passaggio 2.3.3

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$- 27 + 9 - 21 \cdot - 3 - 45$

Passaggio 2.3.4

Somma $- 27$ e $9$ .

$- 18 - 21 \cdot - 3 - 45$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $- 21$ per $- 3$ .

$- 18 + 63 - 45$

Passaggio 2.3.6

Somma $- 18$ e $63$ .

$45 - 45$

Passaggio 2.3.7

Sottrai $45$ da $45$ .

$0$

Passaggio 2.4

Poiché $- 3$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 3$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} + x^{2} - 21 x - 45}{x + 3}$

Passaggio 2.5

Dividi $x^{3} + x^{2} - 21 x - 45$ per $x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$45$

Passaggio 2.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$21 x$	-	$45$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$21 x$	-	$45$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Passaggio 2.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$21 x$	-	$45$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Passaggio 2.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$21 x$	-	$45$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Passaggio 2.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$21 x$	-	$45$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$21 x$

Passaggio 2.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 2 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$21 x$	-	$45$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$21 x$

Passaggio 2.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$21 x$	-	$45$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$6 x$

Passaggio 2.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 2 x^{2} - 6 x$

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$21 x$	-	$45$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$

Passaggio 2.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$21 x$	-	$45$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$

Passaggio 2.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$21 x$	-	$45$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$	-	$45$

Passaggio 2.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 15 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$21 x$	-	$45$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$	-	$45$

Passaggio 2.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$21 x$	-	$45$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$	-	$45$
							-	$15 x$	-	$45$

Passaggio 2.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 15 x - 45$

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$21 x$	-	$45$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$	-	$45$
							+	$15 x$	+	$45$

Passaggio 2.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$21 x$	-	$45$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$	-	$45$
							+	$15 x$	+	$45$
										$0$

Passaggio 2.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 2 x - 15$

Passaggio 2.6

Scrivi $x^{3} + x^{2} - 21 x - 45$ come insieme di fattori.

$(x - 2) ((x + 3) (x^{2} - 2 x - 15))$

Passaggio 3

Scomponi $x^{2} - 2 x - 15$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi $x^{2} - 2 x - 15$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 15$ e la cui somma è $- 2$ .

$- 5, 3$

Passaggio 3.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 2) ((x + 3) ((x - 5) (x + 3)))$

Passaggio 3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 2) ((x + 3) (x - 5) (x + 3))$

Passaggio 4

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Eleva $x + 3$ alla potenza di $1$ .

$(x - 2) ({(x + 3)}^{1} (x + 3) (x - 5))$

Passaggio 4.1.2

Eleva $x + 3$ alla potenza di $1$ .

$(x - 2) ({(x + 3)}^{1} {(x + 3)}^{1} (x - 5))$

Passaggio 4.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(x - 2) ({(x + 3)}^{1 + 1} (x - 5))$

Passaggio 4.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$(x - 2) ({(x + 3)}^{2} (x - 5))$

Passaggio 4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 2) {(x + 3)}^{2} (x - 5)$