Precalcolo Esempi

$x^{4} + 3 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 4$

Passaggio 1

Raggruppa i termini.

$3 x^{3} - 3 x^{2} + x^{4} + 3 x - 4$

Passaggio 2

Scomponi $3 x^{2}$ da $3 x^{3} - 3 x^{2}$ .

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Passaggio 2.1

Scomponi $3 x^{2}$ da $3 x^{3}$ .

$3 x^{2} (x) - 3 x^{2} + x^{4} + 3 x - 4$

Passaggio 2.2

Scomponi $3 x^{2}$ da $- 3 x^{2}$ .

$3 x^{2} (x) + 3 x^{2} (- 1) + x^{4} + 3 x - 4$

Passaggio 2.3

Scomponi $3 x^{2}$ da $3 x^{2} (x) + 3 x^{2} (- 1)$ .

$3 x^{2} (x - 1) + x^{4} + 3 x - 4$

Passaggio 3

Scomponi $x^{4} + 3 x - 4$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 3.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Passaggio 3.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Passaggio 3.3

Sostituisci $1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 3.3.1

Sostituisci $1$ nel polinomio.

$1^{4} + 3 \cdot 1 - 4$

Passaggio 3.3.2

Eleva $1$ alla potenza di $4$ .

$1 + 3 \cdot 1 - 4$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$1 + 3 - 4$

Passaggio 3.3.4

Somma $1$ e $3$ .

$4 - 4$

Passaggio 3.3.5

Sottrai $4$ da $4$ .

$0$

Passaggio 3.4

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{4} + 3 x - 4}{x - 1}$

Passaggio 3.5

Dividi $x^{4} + 3 x - 4$ per $x - 1$ .

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Passaggio 3.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

Passaggio 3.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

Passaggio 3.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

Passaggio 3.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{4} - x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

Passaggio 3.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

Passaggio 3.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Passaggio 3.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Passaggio 3.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Passaggio 3.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Passaggio 3.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Passaggio 3.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

Passaggio 3.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

Passaggio 3.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$x$

Passaggio 3.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} - x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$x$

Passaggio 3.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$x$

$4 x$

Passaggio 3.5.16

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$x$

$4 x$

$4$

Passaggio 3.5.17

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $4 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$x$

$4 x$

$4$

Passaggio 3.5.18

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$x$

$4 x$

$4$

$4 x$

$4$

Passaggio 3.5.19

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $4 x - 4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$x$

$4 x$

$4$

$4 x$

$4$

Passaggio 3.5.20

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$x$

$4 x$

$4$

$4 x$

$4$

$0$

Passaggio 3.5.21

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{3} + x^{2} + x + 4$

Passaggio 3.6

Scrivi $x^{4} + 3 x - 4$ come insieme di fattori.

$3 x^{2} (x - 1) + (x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 4)$

Passaggio 4

Scomponi $x - 1$ da $3 x^{2} (x - 1) + (x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 4)$ .

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Passaggio 4.1

Scomponi $x - 1$ da $3 x^{2} (x - 1)$ .

$(x - 1) (3 x^{2}) + (x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 4)$

Passaggio 4.2

Scomponi $x - 1$ da $(x - 1) (3 x^{2}) + (x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 4)$ .

$(x - 1) (3 x^{2} + x^{3} + x^{2} + x + 4)$

Passaggio 5

Somma $3 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$(x - 1) (x^{3} + 4 x^{2} + x + 4)$

Passaggio 6

Scomponi.

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Passaggio 6.1

Riscrivi $x^{3} + 4 x^{2} + x + 4$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 6.1.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 6.1.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x - 1) ((x^{3} + 4 x^{2}) + x + 4)$

Passaggio 6.1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x - 1) (x^{2} (x + 4) + 1 (x + 4))$

Passaggio 6.1.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x + 4$ .

$(x - 1) ((x + 4) (x^{2} + 1))$

Passaggio 6.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 1) (x + 4) (x^{2} + 1)$