Precalcolo Esempi

$x^{4} + 3 x^{3} - 5 x^{2} - 9 x - 2$

Passaggio 1

Scomponi $x^{4} + 3 x^{3} - 5 x^{2} - 9 x - 2$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Passaggio 1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 2$

Passaggio 1.3

Sostituisci $- 1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 1$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $- 1$ nel polinomio.

${(- 1)}^{4} + 3 {(- 1)}^{3} - 5 {(- 1)}^{2} - 9 \cdot - 1 - 2$

Passaggio 1.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$1 + 3 {(- 1)}^{3} - 5 {(- 1)}^{2} - 9 \cdot - 1 - 2$

Passaggio 1.3.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$1 + 3 \cdot - 1 - 5 {(- 1)}^{2} - 9 \cdot - 1 - 2$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$1 - 3 - 5 {(- 1)}^{2} - 9 \cdot - 1 - 2$

Passaggio 1.3.5

Sottrai $3$ da $1$ .

$- 2 - 5 {(- 1)}^{2} - 9 \cdot - 1 - 2$

Passaggio 1.3.6

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- 2 - 5 \cdot 1 - 9 \cdot - 1 - 2$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$- 2 - 5 - 9 \cdot - 1 - 2$

Passaggio 1.3.8

Sottrai $5$ da $- 2$ .

$- 7 - 9 \cdot - 1 - 2$

Passaggio 1.3.9

Moltiplica $- 9$ per $- 1$ .

$- 7 + 9 - 2$

Passaggio 1.3.10

Somma $- 7$ e $9$ .

$2 - 2$

Passaggio 1.3.11

Sottrai $2$ da $2$ .

$0$

Passaggio 1.4

Poiché $- 1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{4} + 3 x^{3} - 5 x^{2} - 9 x - 2}{x + 1}$

Passaggio 1.5

Dividi $x^{4} + 3 x^{3} - 5 x^{2} - 9 x - 2$ per $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$9 x$

$2$

Passaggio 1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$9 x$

$2$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$9 x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

Passaggio 1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{4} + x^{3}$

				$x^{3}$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	+	$3 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$9 x$	-	$2$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$

Passaggio 1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$9 x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

Passaggio 1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$9 x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

Passaggio 1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$9 x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

Passaggio 1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$9 x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

Passaggio 1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x^{3} + 2 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$9 x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

Passaggio 1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$9 x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$7 x^{2}$

Passaggio 1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$9 x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$7 x^{2}$

$9 x$

Passaggio 1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 7 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$7 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$9 x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$7 x^{2}$

$9 x$

Passaggio 1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	+	$3 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$9 x$	-	$2$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					+	$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
							-	$7 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$7 x^{2}$	-	$7 x$

Passaggio 1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 7 x^{2} - 7 x$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$7 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$9 x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$7 x^{2}$

$9 x$

$7 x^{2}$

$7 x$

Passaggio 1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$7 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$9 x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$7 x^{2}$

$9 x$

$7 x^{2}$

$7 x$

$2 x$

Passaggio 1.5.16

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$7 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$9 x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$7 x^{2}$

$9 x$

$7 x^{2}$

$7 x$

$2 x$

$2$

Passaggio 1.5.17

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 2 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	+	$3 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$9 x$	-	$2$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					+	$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
							-	$7 x^{2}$	-	$9 x$
							+	$7 x^{2}$	+	$7 x$
									-	$2 x$	-	$2$

Passaggio 1.5.18

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	+	$3 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$9 x$	-	$2$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					+	$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
							-	$7 x^{2}$	-	$9 x$
							+	$7 x^{2}$	+	$7 x$
									-	$2 x$	-	$2$
									-	$2 x$	-	$2$

Passaggio 1.5.19

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 2 x - 2$

				$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	+	$3 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$9 x$	-	$2$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					+	$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
							-	$7 x^{2}$	-	$9 x$
							+	$7 x^{2}$	+	$7 x$
									-	$2 x$	-	$2$
									+	$2 x$	+	$2$

Passaggio 1.5.20

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	+	$3 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$9 x$	-	$2$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					+	$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
							-	$7 x^{2}$	-	$9 x$
							+	$7 x^{2}$	+	$7 x$
									-	$2 x$	-	$2$
									+	$2 x$	+	$2$
												$0$

Passaggio 1.5.21

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{3} + 2 x^{2} - 7 x - 2$

Passaggio 1.6

Scrivi $x^{4} + 3 x^{3} - 5 x^{2} - 9 x - 2$ come insieme di fattori.

$(x + 1) (x^{3} + 2 x^{2} - 7 x - 2)$

Passaggio 2

Scomponi $x^{3} + 2 x^{2} - 7 x - 2$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi $x^{3} + 2 x^{2} - 7 x - 2$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Passaggio 2.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 2$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci $2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $2$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Sostituisci $2$ nel polinomio.

$2^{3} + 2 \cdot 2^{2} - 7 \cdot 2 - 2$

Passaggio 2.1.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$8 + 2 \cdot 2^{2} - 7 \cdot 2 - 2$

Passaggio 2.1.3.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$8 + 2 \cdot 4 - 7 \cdot 2 - 2$

Passaggio 2.1.3.4

Moltiplica $2$ per $4$ .

$8 + 8 - 7 \cdot 2 - 2$

Passaggio 2.1.3.5

Somma $8$ e $8$ .

$16 - 7 \cdot 2 - 2$

Passaggio 2.1.3.6

Moltiplica $- 7$ per $2$ .

$16 - 14 - 2$

Passaggio 2.1.3.7

Sottrai $14$ da $16$ .

$2 - 2$

Passaggio 2.1.3.8

Sottrai $2$ da $2$ .

$0$

Passaggio 2.1.4

Poiché $2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 7 x - 2}{x - 2}$

Passaggio 2.1.5

Dividi $x^{3} + 2 x^{2} - 7 x - 2$ per $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$7 x$

$2$

Passaggio 2.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$2$

Passaggio 2.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$2$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Passaggio 2.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Passaggio 2.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

Passaggio 2.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$7 x$

Passaggio 2.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $4 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$7 x$

Passaggio 2.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$

Passaggio 2.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $4 x^{2} - 8 x$

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$

Passaggio 2.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$x$

Passaggio 2.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$x$	-	$2$

Passaggio 2.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$x$	-	$2$

Passaggio 2.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$x$	-	$2$
							+	$x$	-	$2$

Passaggio 2.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x - 2$

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$x$	-	$2$
							-	$x$	+	$2$

Passaggio 2.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$x$	-	$2$
							-	$x$	+	$2$
										$0$

Passaggio 2.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} + 4 x + 1$

Passaggio 2.1.6

Scrivi $x^{3} + 2 x^{2} - 7 x - 2$ come insieme di fattori.

$(x + 1) ((x - 2) (x^{2} + 4 x + 1))$

Passaggio 2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 1) (x - 2) (x^{2} + 4 x + 1)$