Precalcolo Esempi

$x^{5} + 3 x^{4} - 25 x^{3} - 79 x^{2} + 100$

Passaggio 1

Raggruppa i termini.

$x^{5} - 25 x^{3} + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

Passaggio 2

Scomponi $x^{3}$ da $x^{5} - 25 x^{3}$ .

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Passaggio 2.1

Scomponi $x^{3}$ da $x^{5}$ .

$x^{3} x^{2} - 25 x^{3} + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

Passaggio 2.2

Scomponi $x^{3}$ da $- 25 x^{3}$ .

$x^{3} x^{2} + x^{3} \cdot - 25 + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

Passaggio 2.3

Scomponi $x^{3}$ da $x^{3} x^{2} + x^{3} \cdot - 25$ .

$x^{3} (x^{2} - 25) + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

Passaggio 3

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$x^{3} (x^{2} - 5^{2}) + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

Passaggio 4

Scomponi.

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Passaggio 4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 5$ .

$x^{3} ((x + 5) (x - 5)) + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

Passaggio 4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

Passaggio 5

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + 3 {(x^{2})}^{2} - 79 x^{2} + 100$

Passaggio 6

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + 3 u^{2} - 79 u + 100$

Passaggio 7

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 7.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot 100 = 300$ e la cui somma è $b = - 79$ .

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Passaggio 7.1.1

Scomponi $- 79$ da $- 79 u$ .

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + 3 u^{2} - 79 (u) + 100$

Passaggio 7.1.2

Riscrivi $- 79$ come $- 4$ più $- 75$ .

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + 3 u^{2} + (- 4 - 75) u + 100$

Passaggio 7.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + 3 u^{2} - 4 u - 75 u + 100$

Passaggio 7.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 7.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 u^{2} - 4 u) - 75 u + 100$

Passaggio 7.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + u (3 u - 4) - 25 (3 u - 4)$

Passaggio 7.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 u - 4$ .

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 u - 4) (u - 25)$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 x^{2} - 4) (x^{2} - 25)$

Passaggio 9

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 x^{2} - 4) (x^{2} - 5^{2})$

Passaggio 10

Scomponi.

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Passaggio 10.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 5$ .

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 x^{2} - 4) ((x + 5) (x - 5))$

Passaggio 10.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 x^{2} - 4) (x + 5) (x - 5)$

Passaggio 11

Scomponi $(x + 5) (x - 5)$ da $x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 x^{2} - 4) (x + 5) (x - 5)$ .

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Passaggio 11.1

Scomponi $(x + 5) (x - 5)$ da $x^{3} (x + 5) (x - 5)$ .

$(x + 5) (x - 5) (x^{3}) + (3 x^{2} - 4) (x + 5) (x - 5)$

Passaggio 11.2

Scomponi $(x + 5) (x - 5)$ da $(3 x^{2} - 4) (x + 5) (x - 5)$ .

$(x + 5) (x - 5) (x^{3}) + (x + 5) (x - 5) (3 x^{2} - 4)$

Passaggio 11.3

Scomponi $(x + 5) (x - 5)$ da $(x + 5) (x - 5) (x^{3}) + (x + 5) (x - 5) (3 x^{2} - 4)$ .

$(x + 5) (x - 5) (x^{3} + 3 x^{2} - 4)$

Passaggio 12

Scomponi.

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Passaggio 12.1

Riscrivi $x^{3} + 3 x^{2} - 4$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 12.1.1

Scomponi $x^{3} + 3 x^{2} - 4$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 12.1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Passaggio 12.1.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Passaggio 12.1.1.3

Sostituisci $1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 12.1.1.3.1

Sostituisci $1$ nel polinomio.

$1^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 4$

Passaggio 12.1.1.3.2

Eleva $1$ alla potenza di $3$ .

$1 + 3 \cdot 1^{2} - 4$

Passaggio 12.1.1.3.3

Eleva $1$ alla potenza di $2$ .

$1 + 3 \cdot 1 - 4$

Passaggio 12.1.1.3.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$1 + 3 - 4$

Passaggio 12.1.1.3.5

Somma $1$ e $3$ .

$4 - 4$

Passaggio 12.1.1.3.6

Sottrai $4$ da $4$ .

$0$

Passaggio 12.1.1.4

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 4}{x - 1}$

Passaggio 12.1.1.5

Dividi $x^{3} + 3 x^{2} - 4$ per $x - 1$ .

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Passaggio 12.1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$4$

Passaggio 12.1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$

Passaggio 12.1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 12.1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 12.1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

Passaggio 12.1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Passaggio 12.1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $4 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Passaggio 12.1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Passaggio 12.1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $4 x^{2} - 4 x$

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Passaggio 12.1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$

Passaggio 12.1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	-	$4$

Passaggio 12.1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $4 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	-	$4$

Passaggio 12.1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	-	$4$
							+	$4 x$	-	$4$

Passaggio 12.1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $4 x - 4$

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	-	$4$
							-	$4 x$	+	$4$

Passaggio 12.1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	-	$4$
							-	$4 x$	+	$4$
										$0$

Passaggio 12.1.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} + 4 x + 4$

Passaggio 12.1.1.6

Scrivi $x^{3} + 3 x^{2} - 4$ come insieme di fattori.

$(x + 5) (x - 5) ((x - 1) (x^{2} + 4 x + 4))$

Passaggio 12.1.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 12.1.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$(x + 5) (x - 5) ((x - 1) (x^{2} + 4 x + 2^{2}))$

Passaggio 12.1.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Passaggio 12.1.2.3

Riscrivi il polinomio.

$(x + 5) (x - 5) ((x - 1) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}))$

Passaggio 12.1.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 2$ .

$(x + 5) (x - 5) ((x - 1) {(x + 2)}^{2})$

Passaggio 12.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 5) (x - 5) (x - 1) {(x + 2)}^{2}$