Precalcolo Esempi

$x^{3} + 2 x^{2} - 15 x - 36$

Passaggio 1

Scomponi $x^{3} + 2 x^{2} - 15 x - 36$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

$q = \pm 1$

Passaggio 1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

Passaggio 1.3

Sostituisci $- 3$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 3$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 1.3.1

Sostituisci $- 3$ nel polinomio.

${(- 3)}^{3} + 2 {(- 3)}^{2} - 15 \cdot - 3 - 36$

Passaggio 1.3.2

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$- 27 + 2 {(- 3)}^{2} - 15 \cdot - 3 - 36$

Passaggio 1.3.3

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$- 27 + 2 \cdot 9 - 15 \cdot - 3 - 36$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $2$ per $9$ .

$- 27 + 18 - 15 \cdot - 3 - 36$

Passaggio 1.3.5

Somma $- 27$ e $18$ .

$- 9 - 15 \cdot - 3 - 36$

Passaggio 1.3.6

Moltiplica $- 15$ per $- 3$ .

$- 9 + 45 - 36$

Passaggio 1.3.7

Somma $- 9$ e $45$ .

$36 - 36$

Passaggio 1.3.8

Sottrai $36$ da $36$ .

$0$

Passaggio 1.4

Poiché $- 3$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 3$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 15 x - 36}{x + 3}$

Passaggio 1.5

Dividi $x^{3} + 2 x^{2} - 15 x - 36$ per $x + 3$ .

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Passaggio 1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$15 x$

$36$

Passaggio 1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$15 x$	-	$36$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$15 x$	-	$36$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Passaggio 1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$15 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Passaggio 1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$15 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Passaggio 1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$15 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$15 x$

Passaggio 1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$15 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$15 x$

Passaggio 1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$15 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$15 x$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$

Passaggio 1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x^{2} - 3 x$

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$15 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$15 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$

Passaggio 1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$15 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$15 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$

Passaggio 1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$15 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$15 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	-	$36$

Passaggio 1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 12 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$15 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$15 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	-	$36$

Passaggio 1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$15 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$15 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	-	$36$
							-	$12 x$	-	$36$

Passaggio 1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 12 x - 36$

				$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$15 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$15 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	-	$36$
							+	$12 x$	+	$36$

Passaggio 1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$15 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$15 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	-	$36$
							+	$12 x$	+	$36$
										$0$

Passaggio 1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - x - 12$

Passaggio 1.6

Scrivi $x^{3} + 2 x^{2} - 15 x - 36$ come insieme di fattori.

$(x + 3) (x^{2} - x - 12)$

Passaggio 2

Scomponi $x^{2} - x - 12$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.1

Scomponi $x^{2} - x - 12$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 12$ e la cui somma è $- 1$ .

$- 4, 3$

Passaggio 2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x + 3) ((x - 4) (x + 3))$

Passaggio 2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 3) (x - 4) (x + 3)$