Precalcolo Esempi

$x^{3} + 8 x^{2} - 12 x - 144$

Passaggio 1

Scomponi $x^{3} + 8 x^{2} - 12 x - 144$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 144, \pm 2, \pm 72, \pm 3, \pm 48, \pm 4, \pm 36, \pm 6, \pm 24, \pm 8, \pm 18, \pm 9, \pm 16, \pm 12$

$q = \pm 1$

Passaggio 1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 144, \pm 2, \pm 72, \pm 3, \pm 48, \pm 4, \pm 36, \pm 6, \pm 24, \pm 8, \pm 18, \pm 9, \pm 16, \pm 12$

Passaggio 1.3

Sostituisci $4$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $4$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 1.3.1

Sostituisci $4$ nel polinomio.

$4^{3} + 8 \cdot 4^{2} - 12 \cdot 4 - 144$

Passaggio 1.3.2

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$64 + 8 \cdot 4^{2} - 12 \cdot 4 - 144$

Passaggio 1.3.3

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$64 + 8 \cdot 16 - 12 \cdot 4 - 144$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $8$ per $16$ .

$64 + 128 - 12 \cdot 4 - 144$

Passaggio 1.3.5

Somma $64$ e $128$ .

$192 - 12 \cdot 4 - 144$

Passaggio 1.3.6

Moltiplica $- 12$ per $4$ .

$192 - 48 - 144$

Passaggio 1.3.7

Sottrai $48$ da $192$ .

$144 - 144$

Passaggio 1.3.8

Sottrai $144$ da $144$ .

$0$

Passaggio 1.4

Poiché $4$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 4$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} - 12 x - 144}{x - 4}$

Passaggio 1.5

Dividi $x^{3} + 8 x^{2} - 12 x - 144$ per $x - 4$ .

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Passaggio 1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$4$

$x^{3}$

$8 x^{2}$

$12 x$

$144$

Passaggio 1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$12 x$	-	$144$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$12 x$	-	$144$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Passaggio 1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - 4 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$12 x$	-	$144$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Passaggio 1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$12 x$	-	$144$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$

Passaggio 1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$12 x$	-	$144$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$

Passaggio 1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $12 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$12 x$	-	$144$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$

Passaggio 1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$12 x$	-	$144$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$48 x$

Passaggio 1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $12 x^{2} - 48 x$

				$x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$12 x$	-	$144$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$

Passaggio 1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$12 x$	-	$144$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$
							+	$36 x$

Passaggio 1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$12 x$	-	$144$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$
							+	$36 x$	-	$144$

Passaggio 1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $36 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$12 x$	+	$36$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$12 x$	-	$144$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$
							+	$36 x$	-	$144$

Passaggio 1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$12 x$	+	$36$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$12 x$	-	$144$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$
							+	$36 x$	-	$144$
							+	$36 x$	-	$144$

Passaggio 1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $36 x - 144$

				$x^{2}$	+	$12 x$	+	$36$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$12 x$	-	$144$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$
							+	$36 x$	-	$144$
							-	$36 x$	+	$144$

Passaggio 1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$12 x$	+	$36$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$12 x$	-	$144$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$
							+	$36 x$	-	$144$
							-	$36 x$	+	$144$
										$0$

Passaggio 1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} + 12 x + 36$

Passaggio 1.6

Scrivi $x^{3} + 8 x^{2} - 12 x - 144$ come insieme di fattori.

$(x - 4) (x^{2} + 12 x + 36)$

Passaggio 2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$(x - 4) (x^{2} + 12 x + 6^{2})$

Passaggio 2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$12 x = 2 \cdot x \cdot 6$

Passaggio 2.3

Riscrivi il polinomio.

$(x - 4) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^{2})$

Passaggio 2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 6$ .

$(x - 4) {(x + 6)}^{2}$