Precalcolo Esempi

$x^{3} - 10 x^{2} + 12 x + 72$

Passaggio 1

Scomponi $x^{3} - 10 x^{2} + 12 x + 72$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 72, \pm 2, \pm 36, \pm 3, \pm 24, \pm 4, \pm 18, \pm 6, \pm 12, \pm 8, \pm 9$

$q = \pm 1$

Passaggio 1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 72, \pm 2, \pm 36, \pm 3, \pm 24, \pm 4, \pm 18, \pm 6, \pm 12, \pm 8, \pm 9$

Passaggio 1.3

Sostituisci $- 2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 2$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 1.3.1

Sostituisci $- 2$ nel polinomio.

${(- 2)}^{3} - 10 {(- 2)}^{2} + 12 \cdot - 2 + 72$

Passaggio 1.3.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$- 8 - 10 {(- 2)}^{2} + 12 \cdot - 2 + 72$

Passaggio 1.3.3

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$- 8 - 10 \cdot 4 + 12 \cdot - 2 + 72$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $- 10$ per $4$ .

$- 8 - 40 + 12 \cdot - 2 + 72$

Passaggio 1.3.5

Sottrai $40$ da $- 8$ .

$- 48 + 12 \cdot - 2 + 72$

Passaggio 1.3.6

Moltiplica $12$ per $- 2$ .

$- 48 - 24 + 72$

Passaggio 1.3.7

Sottrai $24$ da $- 48$ .

$- 72 + 72$

Passaggio 1.3.8

Somma $- 72$ e $72$ .

$0$

Passaggio 1.4

Poiché $- 2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - 10 x^{2} + 12 x + 72}{x + 2}$

Passaggio 1.5

Dividi $x^{3} - 10 x^{2} + 12 x + 72$ per $x + 2$ .

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Passaggio 1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$12 x$

$72$

Passaggio 1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$12 x$	+	$72$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$12 x$	+	$72$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Passaggio 1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$12 x$	+	$72$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Passaggio 1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$12 x$	+	$72$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$

Passaggio 1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$12 x$	+	$72$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$

Passaggio 1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 12 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$12 x$	+	$72$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$

Passaggio 1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$12 x$	+	$72$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$24 x$

Passaggio 1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 12 x^{2} - 24 x$

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$12 x$	+	$72$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$24 x$

Passaggio 1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$12 x$	+	$72$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$36 x$

Passaggio 1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$12 x$	+	$72$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$36 x$	+	$72$

Passaggio 1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $36 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$36$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$12 x$	+	$72$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$36 x$	+	$72$

Passaggio 1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$36$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$12 x$	+	$72$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$36 x$	+	$72$
							+	$36 x$	+	$72$

Passaggio 1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $36 x + 72$

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$36$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$12 x$	+	$72$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$36 x$	+	$72$
							-	$36 x$	-	$72$

Passaggio 1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$36$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$12 x$	+	$72$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$36 x$	+	$72$
							-	$36 x$	-	$72$
										$0$

Passaggio 1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 12 x + 36$

Passaggio 1.6

Scrivi $x^{3} - 10 x^{2} + 12 x + 72$ come insieme di fattori.

$(x + 2) (x^{2} - 12 x + 36)$

Passaggio 2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$(x + 2) (x^{2} - 12 x + 6^{2})$

Passaggio 2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$12 x = 2 \cdot x \cdot 6$

Passaggio 2.3

Riscrivi il polinomio.

$(x + 2) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 6 + 6^{2})$

Passaggio 2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 6$ .

$(x + 2) {(x - 6)}^{2}$