Precalcolo Esempi

$x^{2} (x - 2) (x + 2) + 3 x + 6$

Passaggio 1

Applica la proprietà distributiva.

$(x^{2} x + x^{2} \cdot - 2) (x + 2) + 3 x + 6$

Passaggio 2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 2) (x + 2) + 3 x + 6$

Passaggio 2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 2) (x + 2) + 3 x + 6$

Passaggio 2.2

Somma $2$ e $1$ .

$(x^{3} + x^{2} \cdot - 2) (x + 2) + 3 x + 6$

Passaggio 3

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$(x^{3} - 2 x^{2}) (x + 2) + 3 x + 6$

Passaggio 4

Espandi $(x^{3} - 2 x^{2}) (x + 2)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{3} (x + 2) - 2 x^{2} (x + 2) + 3 x + 6$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{3} x + x^{3} \cdot 2 - 2 x^{2} (x + 2) + 3 x + 6$

Passaggio 4.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{3} x + x^{3} \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

Passaggio 5

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.1.1

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{3} x^{1} + x^{3} \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

Passaggio 5.1.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{3 + 1} + x^{3} \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

Passaggio 5.1.1.2

Somma $3$ e $1$ .

$x^{4} + x^{3} \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

Passaggio 5.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

Passaggio 5.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.1.3.1

Sposta $x$ .

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

Passaggio 5.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 5.1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

Passaggio 5.1.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

Passaggio 5.1.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x + 6$

Passaggio 5.2

Sottrai $2 x^{3}$ da $2 x^{3}$ .

$x^{4} + 0 - 4 x^{2} + 3 x + 6$

Passaggio 5.3

Somma $x^{4}$ e $0$ .

$x^{4} - 4 x^{2} + 3 x + 6$

Passaggio 6

Riscrivi $x^{4} - 4 x^{2} + 3 x + 6$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 6.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4} - 4 x^{2}$ .

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Passaggio 6.1.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - 4 x^{2} + 3 x + 6$

Passaggio 6.1.2

Scomponi $x^{2}$ da $- 4 x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4 + 3 x + 6$

Passaggio 6.1.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4$ .

$x^{2} (x^{2} - 4) + 3 x + 6$

Passaggio 6.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 2^{2}) + 3 x + 6$

Passaggio 6.3

Scomponi.

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Passaggio 6.3.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$x^{2} ((x + 2) (x - 2)) + 3 x + 6$

Passaggio 6.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x^{2} (x + 2) (x - 2) + 3 x + 6$

Passaggio 6.4

Scomponi $3$ da $3 x + 6$ .

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Passaggio 6.4.1

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$x^{2} (x + 2) (x - 2) + 3 (x) + 6$

Passaggio 6.4.2

Scomponi $3$ da $6$ .

$x^{2} (x + 2) (x - 2) + 3 x + 3 \cdot 2$

Passaggio 6.4.3

Scomponi $3$ da $3 x + 3 \cdot 2$ .

$x^{2} (x + 2) (x - 2) + 3 (x + 2)$

Passaggio 6.5

Scomponi $x + 2$ da $x^{2} (x + 2) (x - 2) + 3 (x + 2)$ .

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Passaggio 6.5.1

Scomponi $x + 2$ da $x^{2} (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x^{2} (x - 2)) + 3 (x + 2)$

Passaggio 6.5.2

Scomponi $x + 2$ da $3 (x + 2)$ .

$(x + 2) (x^{2} (x - 2)) + (x + 2) \cdot 3$

Passaggio 6.5.3

Scomponi $x + 2$ da $(x + 2) (x^{2} (x - 2)) + (x + 2) \cdot 3$ .

$(x + 2) (x^{2} (x - 2) + 3)$

Passaggio 6.6

Applica la proprietà distributiva.

$(x + 2) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 3)$

Passaggio 6.7

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.7.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(x + 2) (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 2 + 3)$

Passaggio 6.7.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(x + 2) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 2 + 3)$

Passaggio 6.7.2

Somma $2$ e $1$ .

$(x + 2) (x^{3} + x^{2} \cdot - 2 + 3)$

Passaggio 6.8

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 3)$

Passaggio 6.9

Scomponi.

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Passaggio 6.9.1

Scomponi $x^{3} - 2 x^{2} + 3$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 6.9.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

Passaggio 6.9.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 3$

Passaggio 6.9.1.3

Sostituisci $- 1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 6.9.1.3.1

Sostituisci $- 1$ nel polinomio.

${(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} + 3$

Passaggio 6.9.1.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- 1 - 2 {(- 1)}^{2} + 3$

Passaggio 6.9.1.3.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- 1 - 2 \cdot 1 + 3$

Passaggio 6.9.1.3.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 1 - 2 + 3$

Passaggio 6.9.1.3.5

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$- 3 + 3$

Passaggio 6.9.1.3.6

Somma $- 3$ e $3$ .

$0$

Passaggio 6.9.1.4

Poiché $- 1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + 3}{x + 1}$

Passaggio 6.9.1.5

Dividi $x^{3} - 2 x^{2} + 3$ per $x + 1$ .

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Passaggio 6.9.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

Passaggio 6.9.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$

Passaggio 6.9.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 6.9.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 6.9.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

Passaggio 6.9.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$

Passaggio 6.9.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 3 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$

Passaggio 6.9.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$3 x$

Passaggio 6.9.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 3 x^{2} - 3 x$

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$

Passaggio 6.9.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$

Passaggio 6.9.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$	+	$3$

Passaggio 6.9.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $3 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$3$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$	+	$3$

Passaggio 6.9.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$3$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$	+	$3$
							+	$3 x$	+	$3$

Passaggio 6.9.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $3 x + 3$

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$3$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$	+	$3$
							-	$3 x$	-	$3$

Passaggio 6.9.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$3$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$	+	$3$
							-	$3 x$	-	$3$
										$0$

Passaggio 6.9.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 3 x + 3$

Passaggio 6.9.1.6

Scrivi $x^{3} - 2 x^{2} + 3$ come insieme di fattori.

$(x + 2) ((x + 1) (x^{2} - 3 x + 3))$

Passaggio 6.9.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 2) (x + 1) (x^{2} - 3 x + 3)$