Precalcolo Esempi

$\csc^{2} (x) - 1 = 0$ , $(0, 2 π)$

Passaggio 1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\csc^{2} (x) = 1$

Passaggio 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\csc (x) = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 3

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\csc (x) = \pm 1$

Passaggio 4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\csc (x) = 1$

Passaggio 4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\csc (x) = - 1$

Passaggio 4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\csc (x) = 1, - 1$

Passaggio 5

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\csc (x) = 1$

$\csc (x) = - 1$

Passaggio 6

Risolvi per $x$ in $\csc (x) = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Trova la cosecante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $x$ dalla cosecante.

$x = arccsc (1)$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Il valore esatto di $arccsc (1)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 6.3

La funzione della cosecante è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Passaggio 6.4

Semplifica $π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 6.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 6.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 6.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Passaggio 6.4.3.2

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 6.5

Trova il periodo di $\csc (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 6.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 6.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 6.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 6.6

Il periodo della funzione $\csc (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7

Risolvi per $x$ in $\csc (x) = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Trova la cosecante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $x$ dalla cosecante.

$x = arccsc (- 1)$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Il valore esatto di $arccsc (- 1)$ è $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Passaggio 7.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Passaggio 7.4

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Passaggio 7.4.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{2}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 7.5

Trova il periodo di $\csc (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 7.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 7.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 7.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 7.6

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{2}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Passaggio 7.6.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 7.6.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.3.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 7.6.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 7.6.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.4.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 7.6.4.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Passaggio 7.6.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 7.7

Il periodo della funzione $\csc (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 10

Trova i valori di $n$ che producono un valore nell'intervallo $(0, 2 π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Collega $0$ per $n$ e semplifica per vedere se la soluzione è contenuta in $(0, 2 π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Collega $0$ per $n$ .

$\frac{π}{2} + π (0)$

Passaggio 10.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.2.1

Moltiplica $π$ per $0$ .

$\frac{π}{2} + 0$

Passaggio 10.1.2.2

Somma $\frac{π}{2}$ e $0$ .

$\frac{π}{2}$

Passaggio 10.1.3

L'intervallo $(0, 2 π)$ contiene $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 10.2

Collega $1$ per $n$ e semplifica per vedere se la soluzione è contenuta in $(0, 2 π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Collega $1$ per $n$ .

$\frac{π}{2} + π (1)$

Passaggio 10.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Moltiplica $π$ per $1$ .

$\frac{π}{2} + π$

Passaggio 10.2.2.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 10.2.2.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.3.1

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}$

Passaggio 10.2.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π + π \cdot 2}{2}$

Passaggio 10.2.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.4.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{π + 2 \cdot π}{2}$

Passaggio 10.2.2.4.2

Somma $π$ e $2 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Passaggio 10.2.3

L'intervallo $(0, 2 π)$ contiene $\frac{3 π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$