Precalcolo Esempi

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = 0$ , $[0, 2 π]$

Passaggio 1

Sostituisci $\cos (x)$ per $u$ .

${(u)}^{2} + 2 (u) + 1 = 0$

Passaggio 2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$u^{2} + 2 u + 1^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Passaggio 2.3

Riscrivi il polinomio.

$u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Passaggio 2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = u$ e $b = 1$ .

${(u + 1)}^{2} = 0$

Passaggio 3

Poni $u + 1$ uguale a $0$ .

$u + 1 = 0$

Passaggio 4

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u = - 1$

Passaggio 5

Sostituisci $u$ per $\cos (x)$ .

$\cos (x) = - 1$

Passaggio 6

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (- 1)$

Passaggio 7

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il valore esatto di $\arccos (- 1)$ è $π$ .

$x = π$

Passaggio 8

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π - π$

Passaggio 9

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$x = π$

Passaggio 10

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 10.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 10.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 10.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 11

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 12

Collega $0$ per $n$ e semplifica per vedere se la soluzione è contenuta in $[0, 2 π]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Collega $0$ per $n$ .

$π + 2 π (0)$

Passaggio 12.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Moltiplica $2 π (0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Moltiplica $0$ per $2$ .

$π + 0 π$

Passaggio 12.2.1.2

Moltiplica $0$ per $π$ .

$π + 0$

Passaggio 12.2.2

Somma $π$ e $0$ .

$π$

Passaggio 12.3

L'intervallo $[0, 2 π]$ contiene $π$ .

$x = π$