Precalcolo Esempi

$\sqrt{x^{2} + y^{2}} = \frac{8}{16 + 125 \sin (x)}$

Passaggio 1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2} = {(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)})}^{2}$

Passaggio 2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ come ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)})}^{2}$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica ${({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 2.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)})}^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)})}^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(x^{2} + y^{2})}^{1} = {(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)})}^{2}$

Passaggio 2.2.1.2

Semplifica.

$x^{2} + y^{2} = {(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)})}^{2}$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Semplifica ${(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)})}^{2}$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{8}{16 + 125 \sin (x)}$ .

$x^{2} + y^{2} = \frac{8^{2}}{{(16 + 125 \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 2.3.1.2

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$x^{2} + y^{2} = \frac{64}{{(16 + 125 \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} = \frac{64}{{(16 + 125 \sin (x))}^{2}} - x^{2}$

Passaggio 3.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\frac{64}{{(16 + 125 \sin (x))}^{2}} - x^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{64}{{(16 + 125 \sin (x))}^{2}} - x^{2}}$ .

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi $64$ come $8^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{8^{2}}{{(16 + 125 \sin (x))}^{2}} - x^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Riscrivi $\frac{8^{2}}{{(16 + 125 \sin (x))}^{2}}$ come ${(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)})}^{2} - x^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \frac{8}{16 + 125 \sin (x)}$ e $b = x$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}$

Passaggio 3.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}$

Passaggio 3.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}$

Passaggio 3.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}$

$y = - \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}$

$y = \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}$

$y = - \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}$

$y = \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}$

$y = - \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}$

Passaggio 4

Per riscrivere come una funzione di $x$ , scrivi l'equazione in modo che $y$ si trovi da solo da un lato del segno uguale, e che dall'altro si trovi un'espressione che riguarda solo $x$ .

$f (x) = \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}, - \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}$