Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{4} - 16}{2 x^{2} - 4 x}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{x^{4} - 16}{2 x^{2} - 4 x}$ è indefinita.

$x = 0, x = 2$

Passaggio 2

Poiché $\frac{x^{4} - 16}{2 x^{2} - 4 x}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $0$ da sinistra e $\frac{x^{4} - 16}{2 x^{2} - 4 x}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $0$ da destra, allora $x = 0$ è un asintoto verticale.

$x = 0$

Passaggio 3

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la retta $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 4

Trova $n$ e $m$ .

$n = 4$

$m = 2$

Passaggio 5

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 6

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

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Passaggio 6.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 6.1.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1.1.1

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{{(x^{2})}^{2} - 16}{2 x^{2} - 4 x}$

Passaggio 6.1.1.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$\frac{{(x^{2})}^{2} - 4^{2}}{2 x^{2} - 4 x}$

Passaggio 6.1.1.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x^{2}$ e $b = 4$ .

$\frac{(x^{2} + 4) (x^{2} - 4)}{2 x^{2} - 4 x}$

Passaggio 6.1.1.4

Semplifica.

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Passaggio 6.1.1.4.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{(x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2})}{2 x^{2} - 4 x}$

Passaggio 6.1.1.4.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{2 x^{2} - 4 x}$

Passaggio 6.1.2

Semplifica i termini.

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Passaggio 6.1.2.1

Scomponi $2 x$ da $2 x^{2} - 4 x$ .

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Passaggio 6.1.2.1.1

Scomponi $2 x$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{2 x (x) - 4 x}$

Passaggio 6.1.2.1.2

Scomponi $2 x$ da $- 4 x$ .

$\frac{(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{2 x (x) + 2 x (- 2)}$

Passaggio 6.1.2.1.3

Scomponi $2 x$ da $2 x (x) + 2 x (- 2)$ .

$\frac{(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{2 x (x - 2)}$

Passaggio 6.1.2.2

Elimina il fattore comune di $x - 2$ .

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Passaggio 6.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{2 x (x - 2)}$

Passaggio 6.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x^{2} + 4) (x + 2)}{2 x}$

Passaggio 6.2

Espandi $(x^{2} + 4) (x + 2)$ .

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Passaggio 6.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} (x + 2) + 4 (x + 2)}{2 x}$

Passaggio 6.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 4 (x + 2)}{2 x}$

Passaggio 6.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2}{2 x}$

Passaggio 6.2.4

Riordina $x^{2}$ e $2$ .

$\frac{x^{2} x + 2 x^{2} + 4 x + 4 \cdot 2}{2 x}$

Passaggio 6.2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{2} x + 2 x^{2} + 4 x + 4 \cdot 2}{2 x}$

Passaggio 6.2.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{2 + 1} + 2 x^{2} + 4 x + 4 \cdot 2}{2 x}$

Passaggio 6.2.7

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 4 \cdot 2}{2 x}$

Passaggio 6.2.8

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 8}{2 x}$

Passaggio 6.3

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$2 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$8$

Passaggio 6.4

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

					$\frac{x^{2}}{2}$
	$2 x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$4 x$	+	$8$

Passaggio 6.5

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$\frac{x^{2}}{2}$
$2 x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$4 x$	+	$8$
			+	$x^{3}$	+	$0$

Passaggio 6.6

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + 0$

				$\frac{x^{2}}{2}$
$2 x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$4 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	-	$0$

Passaggio 6.7

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$\frac{x^{2}}{2}$
$2 x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$4 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$2 x^{2}$

Passaggio 6.8

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$\frac{x^{2}}{2}$
$2 x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$4 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$

Passaggio 6.9

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

				$\frac{x^{2}}{2}$	+	$x$
$2 x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$4 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$

Passaggio 6.10

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$\frac{x^{2}}{2}$	+	$x$
$2 x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$4 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$0$

Passaggio 6.11

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x^{2} + 0$

				$\frac{x^{2}}{2}$	+	$x$
$2 x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$4 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$0$

Passaggio 6.12

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$\frac{x^{2}}{2}$	+	$x$
$2 x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$4 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$0$
							+	$4 x$

Passaggio 6.13

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$\frac{x^{2}}{2}$	+	$x$
$2 x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$4 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$0$
							+	$4 x$	+	$8$

Passaggio 6.14

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $4 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

				$\frac{x^{2}}{2}$	+	$x$	+	$2$
$2 x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$4 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$0$
							+	$4 x$	+	$8$

Passaggio 6.15

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$\frac{x^{2}}{2}$	+	$x$	+	$2$
$2 x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$4 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$0$
							+	$4 x$	+	$8$
							+	$4 x$	+	$0$

Passaggio 6.16

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $4 x + 0$

				$\frac{x^{2}}{2}$	+	$x$	+	$2$
$2 x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$4 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$0$
							+	$4 x$	+	$8$
							-	$4 x$	-	$0$

Passaggio 6.17

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$\frac{x^{2}}{2}$	+	$x$	+	$2$
$2 x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$4 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$0$
							+	$4 x$	+	$8$
							-	$4 x$	-	$0$
									+	$8$

Passaggio 6.18

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\frac{x^{2}}{2} + x + 2 + \frac{8}{2 x}$

Passaggio 6.19

Dividi la soluzione in porzione polinomiale e resto.

$\frac{x^{2}}{2} + x + 2 + \frac{8 x - 16}{2 x^{2} - 4 x}$

Passaggio 6.20

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = \frac{x^{2}}{2} + x + 2$

Passaggio 7

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = 0$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = \frac{x^{2}}{2} + x + 2$

Passaggio 8