Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{3} - 1}{x - x^{2}}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{x^{3} - 1}{x - x^{2}}$ è indefinita.

$x = 0, x = 1$

Passaggio 2

Poiché $\frac{x^{3} - 1}{x - x^{2}}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $0$ da sinistra e $\frac{x^{3} - 1}{x - x^{2}}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $0$ da destra, allora $x = 0$ è un asintoto verticale.

$x = 0$

Passaggio 3

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la retta $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 4

Trova $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Passaggio 5

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 6

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$\frac{x^{3} - 1^{3}}{x - x^{2}}$

Passaggio 6.1.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}{x - x^{2}}$

Passaggio 6.1.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.1

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}{x - x^{2}}$

Passaggio 6.1.1.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - x^{2}}$

Passaggio 6.1.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Scomponi $x$ da $x - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{1} - x^{2}}$

Passaggio 6.1.2.1.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x \cdot 1 - x^{2}}$

Passaggio 6.1.2.1.3

Scomponi $x$ da $- x^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x \cdot 1 + x (- x)}$

Passaggio 6.1.2.1.4

Scomponi $x$ da $x \cdot 1 + x (- x)$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x (1 - x)}$

Passaggio 6.1.2.2

Elimina il fattore comune di $x - 1$ e $1 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.2.1

Scomponi $- 1$ da $x$ .

$\frac{(- 1 (- x) - 1) (x^{2} + x + 1)}{x (1 - x)}$

Passaggio 6.1.2.2.2

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{(- 1 (- x) - 1 (1)) (x^{2} + x + 1)}{x (1 - x)}$

Passaggio 6.1.2.2.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 (- x) - 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (- x + 1) (x^{2} + x + 1)}{x (1 - x)}$

Passaggio 6.1.2.2.4

Riordina i termini.

$\frac{- 1 (- x + 1) (x^{2} + x + 1)}{x (- x + 1)}$

Passaggio 6.1.2.2.5

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1 (- x + 1) (x^{2} + x + 1)}{x (- x + 1)}$

Passaggio 6.1.2.2.6

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1 (x^{2} + x + 1)}{x}$

Passaggio 6.1.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x^{2} + x + 1}{x}$

Passaggio 6.2

Espandi $- (x^{2} + x + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Nega $x^{2} + x + 1$ .

$\frac{- (x^{2} + x + 1)}{x}$

Passaggio 6.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- (x^{2} + x) - 1 \cdot 1}{x}$

Passaggio 6.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x^{2} - x - 1 \cdot 1}{x}$

Passaggio 6.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{- x^{2} - x - 1}{x}$

Passaggio 6.3

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$0$

$x^{2}$

$x$

$1$

Passaggio 6.4

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				-	$x$
	$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$

Passaggio 6.5

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	+	$0$

Passaggio 6.6

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x^{2} + 0$

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$

Passaggio 6.7

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
					-	$x$

Passaggio 6.8

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$1$

Passaggio 6.9

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

			-	$x$	-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$1$

Passaggio 6.10

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$x$	-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$1$
					-	$x$	+	$0$

Passaggio 6.11

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x + 0$

			-	$x$	-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$1$
					+	$x$	-	$0$

Passaggio 6.12

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$x$	-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$1$
					+	$x$	-	$0$
							-	$1$

Passaggio 6.13

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$- x - 1 - \frac{1}{x}$

Passaggio 6.14

Dividi la soluzione in porzione polinomiale e resto.

$- x - 1 + \frac{x - 1}{- x^{2} + x}$

Passaggio 6.15

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = - x - 1$

Passaggio 7

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = 0$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = - x - 1$

Passaggio 8