Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$ è indefinita.

$x = - 5, x = 1$

Passaggio 2

Poiché $\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $- 5$ da sinistra e $\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $- 5$ da destra, allora $x = - 5$ è un asintoto verticale.

$x = - 5$

Passaggio 3

Poiché $\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $1$ da sinistra e $\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $1$ da destra, allora $x = 1$ è un asintoto verticale.

$x = 1$

Passaggio 4

Elenca tutti gli asintoti verticali:

$x = - 5, 1$

Passaggio 5

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la linea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 6

Trova $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Passaggio 7

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 8

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

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Passaggio 8.1

Scomponi $x^{2} + 4 x - 5$ usando il metodo AC.

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Passaggio 8.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 5$ e la cui somma è $4$ .

$- 1, 5$

Passaggio 8.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{5 x^{3} - 4}{(x - 1) (x + 5)}$

Passaggio 8.2

Espandi $(x - 1) (x + 5)$ .

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Passaggio 8.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 x^{3} - 4}{x (x + 5) - 1 (x + 5)}$

Passaggio 8.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 x^{3} - 4}{x \cdot x + x \cdot 5 - 1 (x + 5)}$

Passaggio 8.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 x^{3} - 4}{x \cdot x + x \cdot 5 - 1 x - 1 \cdot 5}$

Passaggio 8.2.4

Riordina $x$ e $5$ .

$\frac{5 x^{3} - 4}{x \cdot x + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}$

Passaggio 8.2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5 x^{3} - 4}{x \cdot x + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}$

Passaggio 8.2.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5 x^{3} - 4}{x \cdot x + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}$

Passaggio 8.2.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{5 x^{3} - 4}{x^{1 + 1} + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}$

Passaggio 8.2.8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}$

Passaggio 8.2.9

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 5 x - 1 x - 5}$

Passaggio 8.2.10

Sottrai $1 x$ da $5 x$ .

$\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$

Passaggio 8.3

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

Passaggio 8.4

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $5 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

$5 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

Passaggio 8.5

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$5 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$5 x^{3}$

$20 x^{2}$

$25 x$

Passaggio 8.6

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $5 x^{3} + 20 x^{2} - 25 x$

$5 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$5 x^{3}$

$20 x^{2}$

$25 x$

Passaggio 8.7

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$5 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$5 x^{3}$

$20 x^{2}$

$25 x$

$20 x^{2}$

$25 x$

Passaggio 8.8

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$5 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$5 x^{3}$

$20 x^{2}$

$25 x$

$20 x^{2}$

$25 x$

$4$

Passaggio 8.9

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 20 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

						$5 x$	-	$20$
$x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$		$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
					-	$5 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$25 x$
							-	$20 x^{2}$	+	$25 x$	-	$4$

Passaggio 8.10

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

						$5 x$	-	$20$
$x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$		$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
					-	$5 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$25 x$
							-	$20 x^{2}$	+	$25 x$	-	$4$
							-	$20 x^{2}$	-	$80 x$	+	$100$

Passaggio 8.11

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 20 x^{2} - 80 x + 100$

$5 x$

$20$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$5 x^{3}$

$20 x^{2}$

$25 x$

$20 x^{2}$

$25 x$

$4$

$20 x^{2}$

$80 x$

$100$

Passaggio 8.12

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

						$5 x$	-	$20$
$x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$		$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
					-	$5 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$25 x$
							-	$20 x^{2}$	+	$25 x$	-	$4$
							+	$20 x^{2}$	+	$80 x$	-	$100$
									+	$105 x$	-	$104$

Passaggio 8.13

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$5 x - 20 + \frac{105 x - 104}{x^{2} + 4 x - 5}$

Passaggio 8.14

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = 5 x - 20$

Passaggio 9

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = - 5, 1$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = 5 x - 20$

Passaggio 10