Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{3} - 64}{x^{2} - 5 x}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{x^{3} - 64}{x^{2} - 5 x}$ è indefinita.

$x = 0, x = 5$

Passaggio 2

Poiché $\frac{x^{3} - 64}{x^{2} - 5 x}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $0$ da sinistra e $\frac{x^{3} - 64}{x^{2} - 5 x}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $0$ da destra, allora $x = 0$ è un asintoto verticale.

$x = 0$

Passaggio 3

Poiché $\frac{x^{3} - 64}{x^{2} - 5 x}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $5$ da sinistra e $\frac{x^{3} - 64}{x^{2} - 5 x}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $5$ da destra, allora $x = 5$ è un asintoto verticale.

$x = 5$

Passaggio 4

Elenca tutti gli asintoti verticali:

$x = 0, 5$

Passaggio 5

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la linea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 6

Trova $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Passaggio 7

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 8

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

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Passaggio 8.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 8.1.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.1.1.1

Riscrivi $64$ come $4^{3}$ .

$\frac{x^{3} - 4^{3}}{x^{2} - 5 x}$

Passaggio 8.1.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 4$ .

$\frac{(x - 4) (x^{2} + x \cdot 4 + 4^{2})}{x^{2} - 5 x}$

Passaggio 8.1.1.3

Semplifica.

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Passaggio 8.1.1.3.1

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{(x - 4) (x^{2} + 4 \cdot x + 4^{2})}{x^{2} - 5 x}$

Passaggio 8.1.1.3.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)}{x^{2} - 5 x}$

Passaggio 8.1.2

Scomponi $x$ da $x^{2} - 5 x$ .

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Passaggio 8.1.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)}{x \cdot x - 5 x}$

Passaggio 8.1.2.2

Scomponi $x$ da $- 5 x$ .

$\frac{(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)}{x \cdot x + x \cdot - 5}$

Passaggio 8.1.2.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot - 5$ .

$\frac{(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)}{x (x - 5)}$

Passaggio 8.2

Espandi $(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)$ .

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Passaggio 8.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (x^{2} + 4 x + 16) - 4 (x^{2} + 4 x + 16)}{x (x - 5)}$

Passaggio 8.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (x^{2} + 4 x) + x \cdot 16 - 4 (x^{2} + 4 x + 16)}{x (x - 5)}$

Passaggio 8.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (4 x) + x \cdot 16 - 4 (x^{2} + 4 x + 16)}{x (x - 5)}$

Passaggio 8.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (4 x) + x \cdot 16 - 4 (x^{2} + 4 x) - 4 \cdot 16}{x (x - 5)}$

Passaggio 8.2.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (4 x) + x \cdot 16 - 4 x^{2} - 4 (4 x) - 4 \cdot 16}{x (x - 5)}$

Passaggio 8.2.6

Rimuovi le parentesi.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot (4 x) + x \cdot 16 - 4 x^{2} - 4 (4 x) - 4 \cdot 16}{x (x - 5)}$

Passaggio 8.2.7

Riordina $x$ e $4$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + 4 \cdot (x \cdot x) + x \cdot 16 - 4 x^{2} - 4 (4 x) - 4 \cdot 16}{x (x - 5)}$

Passaggio 8.2.8

Riordina $x$ e $16$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + 4 \cdot (x \cdot x) + 16 \cdot x - 4 x^{2} - 4 (4 x) - 4 \cdot 16}{x (x - 5)}$

Passaggio 8.2.9

Rimuovi le parentesi.

$\frac{x \cdot x^{2} + 4 \cdot (x \cdot x) + 16 \cdot x - 4 x^{2} - 4 \cdot (4 x) - 4 \cdot 16}{x (x - 5)}$

Passaggio 8.2.10

Moltiplica $4$ per $x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + 4 x \cdot x + 16 x - 4 x^{2} - 4 \cdot (4 x) - 4 \cdot 16}{x (x - 5)}$

Passaggio 8.2.11

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + 4 x \cdot x + 16 x - 4 x^{2} - 4 \cdot (4 x) - 4 \cdot 16}{x (x - 5)}$

Passaggio 8.2.12

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{1 + 2} + 4 x \cdot x + 16 x - 4 x^{2} - 4 \cdot (4 x) - 4 \cdot 16}{x (x - 5)}$

Passaggio 8.2.13

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{x^{3} + 4 x \cdot x + 16 x - 4 x^{2} - 4 \cdot (4 x) - 4 \cdot 16}{x (x - 5)}$

Passaggio 8.2.14

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{3} + 4 (x \cdot x) + 16 x - 4 x^{2} - 4 \cdot (4 x) - 4 \cdot 16}{x (x - 5)}$

Passaggio 8.2.15

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{3} + 4 (x \cdot x) + 16 x - 4 x^{2} - 4 \cdot (4 x) - 4 \cdot 16}{x (x - 5)}$

Passaggio 8.2.16

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{3} + 4 x^{1 + 1} + 16 x - 4 x^{2} - 4 \cdot (4 x) - 4 \cdot 16}{x (x - 5)}$

Passaggio 8.2.17

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 16 x - 4 x^{2} - 4 \cdot (4 x) - 4 \cdot 16}{x (x - 5)}$

Passaggio 8.2.18

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 16 x - 4 x^{2} - 16 x - 4 \cdot 16}{x (x - 5)}$

Passaggio 8.2.19

Moltiplica $- 4$ per $16$ .

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 16 x - 4 x^{2} - 16 x - 64}{x (x - 5)}$

Passaggio 8.2.20

Sposta $16 x$ .

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{2} + 16 x - 16 x - 64}{x (x - 5)}$

Passaggio 8.2.21

Sottrai $4 x^{2}$ da $4 x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 0 + 16 x - 16 x - 64}{x (x - 5)}$

Passaggio 8.2.22

Somma $x^{3}$ e $0$ .

$\frac{x^{3} + 16 x - 16 x - 64}{x (x - 5)}$

Passaggio 8.2.23

Sottrai $16 x$ da $16 x$ .

$\frac{x^{3} + 0 - 64}{x (x - 5)}$

Passaggio 8.2.24

Somma $x^{3}$ e $0$ .

$\frac{x^{3} - 64}{x (x - 5)}$

Passaggio 8.3

Espandi $x (x - 5)$ .

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Passaggio 8.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{3} - 64}{x \cdot x + x \cdot - 5}$

Passaggio 8.3.2

Riordina $x$ e $- 5$ .

$\frac{x^{3} - 64}{x \cdot x - 5 x}$

Passaggio 8.3.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{3} - 64}{x \cdot x - 5 x}$

Passaggio 8.3.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{3} - 64}{x \cdot x - 5 x}$

Passaggio 8.3.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{3} - 64}{x^{1 + 1} - 5 x}$

Passaggio 8.3.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{3} - 64}{x^{2} - 5 x}$

Passaggio 8.4

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{2}$

$5 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$64$

Passaggio 8.5

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$5 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$64$

Passaggio 8.6

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x$

$x^{2}$

$5 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$0$

Passaggio 8.7

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - 5 x^{2} + 0$

$x$

$x^{2}$

$5 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$0$

Passaggio 8.8

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x$

$x^{2}$

$5 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$0$

$5 x^{2}$

$0$

Passaggio 8.9

Abbassa il termine successivo dal dividendo originale nel dividendo attuale.

						$x$
$x^{2}$	-	$5 x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$64$
					-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$0$
							+	$5 x^{2}$	+	$0$	-	$64$

Passaggio 8.10

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $5 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

						$x$	+	$5$
$x^{2}$	-	$5 x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$64$
					-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$0$
							+	$5 x^{2}$	+	$0$	-	$64$

Passaggio 8.11

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x$

$5$

$x^{2}$

$5 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$0$

$5 x^{2}$

$0$

$64$

$5 x^{2}$

$25 x$

$0$

Passaggio 8.12

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $5 x^{2} - 25 x + 0$

						$x$	+	$5$
$x^{2}$	-	$5 x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$64$
					-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$0$
							+	$5 x^{2}$	+	$0$	-	$64$
							-	$5 x^{2}$	+	$25 x$	-	$0$

Passaggio 8.13

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

						$x$	+	$5$
$x^{2}$	-	$5 x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$64$
					-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$0$
							+	$5 x^{2}$	+	$0$	-	$64$
							-	$5 x^{2}$	+	$25 x$	-	$0$
									+	$25 x$	-	$64$

Passaggio 8.14

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$x + 5 + \frac{25 x - 64}{x^{2} - 5 x}$

Passaggio 8.15

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = x + 5$

Passaggio 9

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = 0, 5$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = x + 5$

Passaggio 10