Precalcolo Esempi

$y = \frac{1}{x} + \frac{5}{x - 3}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{x} + \frac{5}{x - 3} = y$ .

$\frac{1}{x} + \frac{5}{x - 3} = y$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x, x - 3, 1$

Passaggio 2.2

Since $x, x - 3, 1$ contains both numbers and variables, there are four steps to find the LCM. Find LCM for the numeric, variable, and compound variable parts. Then, multiply them all together.

I passaggi per trovare il minimo comune multiplo per $x, x - 3, 1$ sono:

1. Trova il minimo comune multiplo della parte numerica $1, 1, 1$ .

2. Trova il minimo comune multiplo per la parte variabile $x^{1}$

3. Trova il minimo comune multiplo per la parte variabile composta $x - 3$ .

4. Moltiplica tutti i minimi comuni multipli tra loro.

Passaggio 2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.5

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 2.6

Il fattore di $x^{1}$ è $x$ stesso.

$x^{1} = x$

$x$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.7

Il minimo comune multiplo (mcm) di $x^{1}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$x$

Passaggio 2.8

Il fattore di $x - 3$ è $x - 3$ stesso.

$(x - 3) = x - 3$

$(x - 3)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.9

Il minimo comune multiplo di $x - 3$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$x - 3$

Passaggio 2.10

Il minimo comune multiplo $LCM$ di alcuni numeri è il numero più piccolo di cui i numeri sono fattori.

$x (x - 3)$

Passaggio 3

Moltiplica per $x (x - 3)$ ciascun termine in $\frac{1}{x} + \frac{5}{x - 3} = y$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{1}{x} + \frac{5}{x - 3} = y$ per $x (x - 3)$ .

$\frac{1}{x} (x (x - 3)) + \frac{5}{x - 3} (x (x - 3)) = y (x (x - 3))$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x} (x (x - 3)) + \frac{5}{x - 3} (x (x - 3)) = y (x (x - 3))$

Passaggio 3.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x - 3 + \frac{5}{x - 3} (x (x - 3)) = y (x (x - 3))$

Passaggio 3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.1

Scomponi $x - 3$ da $x (x - 3)$ .

$x - 3 + \frac{5}{x - 3} ((x - 3) x) = y (x (x - 3))$

Passaggio 3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x - 3 + \frac{5}{x - 3} ((x - 3) x) = y (x (x - 3))$

Passaggio 3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x - 3 + 5 x = y (x (x - 3))$

Passaggio 3.2.2

Somma $x$ e $5 x$ .

$6 x - 3 = y (x (x - 3))$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$6 x - 3 = y (x \cdot x + x \cdot - 3)$

Passaggio 3.3.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$6 x - 3 = y (x^{2} + x \cdot - 3)$

Passaggio 3.3.2.2

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x$ .

$6 x - 3 = y (x^{2} - 3 \cdot x)$

Passaggio 3.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$6 x - 3 = y x^{2} + y (- 3 x)$

Passaggio 3.3.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$6 x - 3 = y x^{2} - 3 y x$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 4.1

Poiché $x$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$y x^{2} - 3 y x = 6 x - 3$

Passaggio 4.2

Sottrai $6 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y x^{2} - 3 y x - 6 x = - 3$

Passaggio 4.3

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y x^{2} - 3 y x - 6 x + 3 = 0$

Passaggio 4.4

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4.5

Sostituisci i valori $a = y$ , $b = - 3 y - 6$ e $c = 3$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- (- 3 y - 6) \pm \sqrt{{(- 3 y - 6)}^{2} - 4 \cdot (y \cdot 3)}}{2 y}$

Passaggio 4.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{- (- 3 y) + 6 \pm \sqrt{{(- 3 y - 6)}^{2} - 4 \cdot y \cdot 3}}{2 y}$

Passaggio 4.6.2

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{{(- 3 y - 6)}^{2} - 4 \cdot y \cdot 3}}{2 y}$

Passaggio 4.6.3

Moltiplica $- 1$ per $- 6$ .

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{{(- 3 y - 6)}^{2} - 4 \cdot y \cdot 3}}{2 y}$

Passaggio 4.6.4

Riscrivi ${(- 3 y - 6)}^{2}$ come $(- 3 y - 6) (- 3 y - 6)$ .

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{(- 3 y - 6) (- 3 y - 6) - 4 \cdot y \cdot 3}}{2 y}$

Passaggio 4.6.5

Espandi $(- 3 y - 6) (- 3 y - 6)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.6.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{- 3 y (- 3 y - 6) - 6 (- 3 y - 6) - 4 \cdot y \cdot 3}}{2 y}$

Passaggio 4.6.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{- 3 y (- 3 y) - 3 y \cdot - 6 - 6 (- 3 y - 6) - 4 \cdot y \cdot 3}}{2 y}$

Passaggio 4.6.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{- 3 y (- 3 y) - 3 y \cdot - 6 - 6 (- 3 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot y \cdot 3}}{2 y}$

Passaggio 4.6.6

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.6.6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.6.6.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{- 3 \cdot (- 3 y \cdot y) - 3 y \cdot - 6 - 6 (- 3 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot y \cdot 3}}{2 y}$

Passaggio 4.6.6.1.2

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.6.1.2.1

Sposta $y$ .

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{- 3 \cdot (- 3 (y \cdot y)) - 3 y \cdot - 6 - 6 (- 3 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot y \cdot 3}}{2 y}$

Passaggio 4.6.6.1.2.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{- 3 \cdot (- 3 y^{2}) - 3 y \cdot - 6 - 6 (- 3 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot y \cdot 3}}{2 y}$

Passaggio 4.6.6.1.3

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{9 y^{2} - 3 y \cdot - 6 - 6 (- 3 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot y \cdot 3}}{2 y}$

Passaggio 4.6.6.1.4

Moltiplica $- 6$ per $- 3$ .

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{9 y^{2} + 18 y - 6 (- 3 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot y \cdot 3}}{2 y}$

Passaggio 4.6.6.1.5

Moltiplica $- 3$ per $- 6$ .

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{9 y^{2} + 18 y + 18 y - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot y \cdot 3}}{2 y}$

Passaggio 4.6.6.1.6

Moltiplica $- 6$ per $- 6$ .

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{9 y^{2} + 18 y + 18 y + 36 - 4 \cdot y \cdot 3}}{2 y}$

Passaggio 4.6.6.2

Somma $18 y$ e $18 y$ .

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{9 y^{2} + 36 y + 36 - 4 \cdot y \cdot 3}}{2 y}$

Passaggio 4.6.7

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{9 y^{2} + 36 y + 36 - 12 y}}{2 y}$

Passaggio 4.6.8

Sottrai $12 y$ da $36 y$ .

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{9 y^{2} + 24 y + 36}}{2 y}$

Passaggio 4.6.9

Scomponi $3$ da $9 y^{2} + 24 y + 36$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.9.1

Scomponi $3$ da $9 y^{2}$ .

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{3 (3 y^{2}) + 24 y + 36}}{2 y}$

Passaggio 4.6.9.2

Scomponi $3$ da $24 y$ .

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{3 (3 y^{2}) + 3 (8 y) + 36}}{2 y}$

Passaggio 4.6.9.3

Scomponi $3$ da $36$ .

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{3 (3 y^{2}) + 3 (8 y) + 3 (12)}}{2 y}$

Passaggio 4.6.9.4

Scomponi $3$ da $3 (3 y^{2}) + 3 (8 y)$ .

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{3 (3 y^{2} + 8 y) + 3 (12)}}{2 y}$

Passaggio 4.6.9.5

Scomponi $3$ da $3 (3 y^{2} + 8 y) + 3 (12)$ .

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{3 (3 y^{2} + 8 y + 12)}}{2 y}$

Passaggio 4.7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = \frac{3 y + 6 + \sqrt{3 (3 y^{2} + 8 y + 12)}}{2 y}$

$x = \frac{3 y + 6 - \sqrt{3 (3 y^{2} + 8 y + 12)}}{2 y}$

$x = \frac{3 y + 6 + \sqrt{3 (3 y^{2} + 8 y + 12)}}{2 y}$

$x = \frac{3 y + 6 - \sqrt{3 (3 y^{2} + 8 y + 12)}}{2 y}$