Precalcolo Esempi

$\frac{x^{6} - 8}{x - \sqrt{2}}$

Passaggio 1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $x^{6}$ come ${(x^{2})}^{3}$ .

$\frac{{(x^{2})}^{3} - 8}{x - \sqrt{2}}$

Passaggio 1.2

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$\frac{{(x^{2})}^{3} - 2^{3}}{x - \sqrt{2}}$

Passaggio 1.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = x^{2}$ e $b = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 2) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 2 + 2^{2})}{x - \sqrt{2}}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 1.4.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{2 \cdot 2} + x^{2} \cdot 2 + 2^{2})}{x - \sqrt{2}}$

Passaggio 1.4.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + x^{2} \cdot 2 + 2^{2})}{x - \sqrt{2}}$

Passaggio 1.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 \cdot x^{2} + 2^{2})}{x - \sqrt{2}}$

Passaggio 1.4.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4)}{x - \sqrt{2}}$

Passaggio 2

Moltiplica $\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4)}{x - \sqrt{2}}$ per $\frac{x + \sqrt{2}}{x + \sqrt{2}}$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4)}{x - \sqrt{2}} \cdot \frac{x + \sqrt{2}}{x + \sqrt{2}}$

Passaggio 3

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4)}{x - \sqrt{2}}$ per $\frac{x + \sqrt{2}}{x + \sqrt{2}}$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})}{(x - \sqrt{2}) (x + \sqrt{2})}$

Passaggio 3.2

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})}{x^{2} + x \sqrt{2} - \sqrt{2} x - {\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})}{x^{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})}{x^{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.3.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})}{x^{2} - 2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.3.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.3.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})}{x^{2} - 2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.3.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})}{x^{2} - 2^{1}}$

Passaggio 3.3.1.5

Calcola l'esponente.

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})}{x^{2} - 1 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})}{x^{2} - 2}$

Passaggio 3.4

Elimina il fattore comune di $x^{2} - 2$ .

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Passaggio 3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})}{x^{2} - 2}$

Passaggio 3.4.2

Dividi $(x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})$ per $1$ .

$(x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})$

Passaggio 4

Espandi $(x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$x^{4} x + x^{4} \sqrt{2} + 2 x^{2} x + 2 x^{2} \sqrt{2} + 4 x + 4 \sqrt{2}$

Passaggio 5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.1.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ .

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Passaggio 5.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{4} x^{1} + x^{4} \sqrt{2} + 2 x^{2} x + 2 x^{2} \sqrt{2} + 4 x + 4 \sqrt{2}$

Passaggio 5.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{4 + 1} + x^{4} \sqrt{2} + 2 x^{2} x + 2 x^{2} \sqrt{2} + 4 x + 4 \sqrt{2}$

Passaggio 5.1.2

Somma $4$ e $1$ .

$x^{5} + x^{4} \sqrt{2} + 2 x^{2} x + 2 x^{2} \sqrt{2} + 4 x + 4 \sqrt{2}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.2.1

Sposta $x$ .

$x^{5} + x^{4} \sqrt{2} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \sqrt{2} + 4 x + 4 \sqrt{2}$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 5.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{5} + x^{4} \sqrt{2} + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \sqrt{2} + 4 x + 4 \sqrt{2}$

Passaggio 5.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{5} + x^{4} \sqrt{2} + 2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \sqrt{2} + 4 x + 4 \sqrt{2}$

Passaggio 5.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$x^{5} + x^{4} \sqrt{2} + 2 x^{3} + 2 x^{2} \sqrt{2} + 4 x + 4 \sqrt{2}$