Precalcolo Esempi

$\frac{9}{x^{2} - 9}$

Passaggio 1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi la frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{9}{x^{2} - 3^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

$\frac{9}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{x + 3}$

Passaggio 1.3

$\frac{A}{x + 3} + \frac{B}{x - 3}$

Passaggio 1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{9 (x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{(A) (x + 3) (x - 3)}{x + 3} + \frac{(B) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 (x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{(A) (x + 3) (x - 3)}{x + 3} + \frac{(B) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

Passaggio 1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{9 (x - 3)}{x - 3} = \frac{(A) (x + 3) (x - 3)}{x + 3} + \frac{(B) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

Passaggio 1.6

Elimina il fattore comune di $x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 (x - 3)}{x - 3} = \frac{(A) (x + 3) (x - 3)}{x + 3} + \frac{(B) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

Passaggio 1.6.2

Dividi $9$ per $1$ .

$9 = \frac{(A) (x + 3) (x - 3)}{x + 3} + \frac{(B) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

Passaggio 1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Elimina il fattore comune di $x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$9 = \frac{A (x + 3) (x - 3)}{x + 3} + \frac{(B) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

Passaggio 1.7.1.2

Dividi $(A) (x - 3)$ per $1$ .

$9 = (A) (x - 3) + \frac{(B) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

Passaggio 1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$9 = A x + A \cdot - 3 + \frac{(B) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

Passaggio 1.7.3

Sposta $- 3$ alla sinistra di $A$ .

$9 = A x - 3 \cdot A + \frac{(B) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

Passaggio 1.7.4

Elimina il fattore comune di $x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$9 = A x - 3 A + \frac{(B) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

Passaggio 1.7.4.2

Dividi $(B) (x + 3)$ per $1$ .

$9 = A x - 3 A + (B) (x + 3)$

Passaggio 1.7.5

Applica la proprietà distributiva.

$9 = A x - 3 A + B x + B \cdot 3$

Passaggio 1.7.6

Sposta $3$ alla sinistra di $B$ .

$9 = A x - 3 A + B x + 3 B$

Passaggio 1.8

Sposta $- 3 A$ .

$9 = A x + B x - 3 A + 3 B$

Passaggio 2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + B$

Passaggio 2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$9 = - 3 A + 3 B$

Passaggio 2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = A + B$

$9 = - 3 A + 3 B$

$0 = A + B$

$9 = - 3 A + 3 B$

Passaggio 3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Risolvi per $A$ in $0 = A + B$ .

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Passaggio 3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$9 = - 3 A + 3 B$

Passaggio 3.1.2

Sottrai $B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = - B$

$9 = - 3 A + 3 B$

$A = - B$

$9 = - 3 A + 3 B$

Passaggio 3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $- B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $9 = - 3 A + 3 B$ con $- B$ .

$9 = - 3 (- B) + 3 B$

$A = - B$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $- 3 (- B) + 3 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$9 = 3 B + 3 B$

$A = - B$

Passaggio 3.2.2.1.2

Somma $3 B$ e $3 B$ .

$9 = 6 B$

$A = - B$

$9 = 6 B$

$A = - B$

$9 = 6 B$

$A = - B$

$9 = 6 B$

$A = - B$

Passaggio 3.3

Risolvi per $B$ in $9 = 6 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $6 B = 9$ .

$6 B = 9$

$A = - B$

Passaggio 3.3.2

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 B = 9$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 B = 9$ .

$\frac{6 B}{6} = \frac{9}{6}$

$A = - B$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 B}{6} = \frac{9}{6}$

$A = - B$

Passaggio 3.3.2.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{9}{6}$

$A = - B$

$B = \frac{9}{6}$

$A = - B$

$B = \frac{9}{6}$

$A = - B$

Passaggio 3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Elimina il fattore comune di $9$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$B = \frac{3 (3)}{6}$

$A = - B$

Passaggio 3.3.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$B = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2}$

$A = - B$

Passaggio 3.3.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$B = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2}$

$A = - B$

Passaggio 3.3.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$B = \frac{3}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{3}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{3}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{3}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{3}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{3}{2}$

$A = - B$

Passaggio 3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $\frac{3}{2}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = - B$ con $\frac{3}{2}$ .

$A = - (\frac{3}{2})$

$B = \frac{3}{2}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $\frac{3}{2}$ .

$A = - \frac{3}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = - \frac{3}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = - \frac{3}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

Passaggio 3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = - \frac{3}{2}, B = \frac{3}{2}$

Passaggio 4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x + 3} + \frac{B}{x - 3}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{- \frac{3}{2}}{x + 3} + \frac{\frac{3}{2}}{x - 3}$