Precalcolo Esempi

$\frac{5}{3 x (2 x + 1)}$

Passaggio 1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{2 x + 1}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $3 x (2 x + 1)$ .

$\frac{5 (3 x (2 x + 1))}{3 x (2 x + 1)} = \frac{A (3 x (2 x + 1))}{x} + \frac{(B) (3 x (2 x + 1))}{2 x + 1}$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 (3 x (2 x + 1))}{3 x (2 x + 1)} = \frac{A (3 x (2 x + 1))}{x} + \frac{(B) (3 x (2 x + 1))}{2 x + 1}$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5 (x (2 x + 1))}{x (2 x + 1)} = \frac{A (3 x (2 x + 1))}{x} + \frac{(B) (3 x (2 x + 1))}{2 x + 1}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 (x (2 x + 1))}{x (2 x + 1)} = \frac{A (3 x (2 x + 1))}{x} + \frac{(B) (3 x (2 x + 1))}{2 x + 1}$

Passaggio 1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5 (2 x + 1)}{2 x + 1} = \frac{A (3 x (2 x + 1))}{x} + \frac{(B) (3 x (2 x + 1))}{2 x + 1}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $2 x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 (2 x + 1)}{2 x + 1} = \frac{A (3 x (2 x + 1))}{x} + \frac{(B) (3 x (2 x + 1))}{2 x + 1}$

Passaggio 1.5.2

Dividi $5$ per $1$ .

$5 = \frac{A (3 x (2 x + 1))}{x} + \frac{(B) (3 x (2 x + 1))}{2 x + 1}$

Passaggio 1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$5 = \frac{A (3 x (2 x + 1))}{x} + \frac{(B) (3 x (2 x + 1))}{2 x + 1}$

Passaggio 1.6.1.2

Dividi $A (3 (2 x + 1))$ per $1$ .

$5 = A (3 (2 x + 1)) + \frac{(B) (3 x (2 x + 1))}{2 x + 1}$

Passaggio 1.6.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$5 = 3 A (2 x + 1) + \frac{(B) (3 x (2 x + 1))}{2 x + 1}$

Passaggio 1.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$5 = 3 A (2 x) + 3 A \cdot 1 + \frac{(B) (3 x (2 x + 1))}{2 x + 1}$

Passaggio 1.6.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$5 = 3 \cdot (2 A x) + 3 A \cdot 1 + \frac{(B) (3 x (2 x + 1))}{2 x + 1}$

Passaggio 1.6.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$5 = 3 \cdot (2 A x) + 3 A + \frac{(B) (3 x (2 x + 1))}{2 x + 1}$

Passaggio 1.6.6

Moltiplica $3$ per $2$ .

$5 = 6 A x + 3 A + \frac{(B) (3 x (2 x + 1))}{2 x + 1}$

Passaggio 1.6.7

Elimina il fattore comune di $2 x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.7.1

Elimina il fattore comune.

$5 = 6 A x + 3 A + \frac{B (3 x (2 x + 1))}{2 x + 1}$

Passaggio 1.6.7.2

Dividi $(B) (3 x)$ per $1$ .

$5 = 6 A x + 3 A + (B) (3 x)$

Passaggio 1.6.8

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$5 = 6 A x + 3 A + 3 B x$

Passaggio 1.7

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Sposta $A$ .

$5 = 6 x A + 3 A + 3 B x$

Passaggio 1.7.2

Sposta $B$ .

$5 = 6 x A + 3 A + 3 x B$

Passaggio 1.7.3

Sposta $3 A$ .

$5 = 6 x A + 3 x B + 3 A$

Passaggio 2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = 6 A + 3 B$

Passaggio 2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$5 = 3 A$

Passaggio 2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = 6 A + 3 B$

$5 = 3 A$

$0 = 6 A + 3 B$

$5 = 3 A$

Passaggio 3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Risolvi per $A$ in $5 = 3 A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Riscrivi l'equazione come $3 A = 5$ .

$3 A = 5$

$0 = 6 A + 3 B$

Passaggio 3.1.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 A = 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 A = 5$ .

$\frac{3 A}{3} = \frac{5}{3}$

$0 = 6 A + 3 B$

Passaggio 3.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 A}{3} = \frac{5}{3}$

$0 = 6 A + 3 B$

Passaggio 3.1.2.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{5}{3}$

$0 = 6 A + 3 B$

$A = \frac{5}{3}$

$0 = 6 A + 3 B$

$A = \frac{5}{3}$

$0 = 6 A + 3 B$

$A = \frac{5}{3}$

$0 = 6 A + 3 B$

$A = \frac{5}{3}$

$0 = 6 A + 3 B$

Passaggio 3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $\frac{5}{3}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = 6 A + 3 B$ con $\frac{5}{3}$ .

$0 = 6 (\frac{5}{3}) + 3 B$

$A = \frac{5}{3}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 3.2.2.1.1.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$0 = 3 (2) (\frac{5}{3}) + 3 B$

$A = \frac{5}{3}$

Passaggio 3.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$0 = 3 \cdot (2 (\frac{5}{3})) + 3 B$

$A = \frac{5}{3}$

Passaggio 3.2.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$0 = 2 \cdot 5 + 3 B$

$A = \frac{5}{3}$

$0 = 2 \cdot 5 + 3 B$

$A = \frac{5}{3}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$0 = 10 + 3 B$

$A = \frac{5}{3}$

$0 = 10 + 3 B$

$A = \frac{5}{3}$

$0 = 10 + 3 B$

$A = \frac{5}{3}$

$0 = 10 + 3 B$

$A = \frac{5}{3}$

Passaggio 3.3

Risolvi per $B$ in $0 = 10 + 3 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $10 + 3 B = 0$ .

$10 + 3 B = 0$

$A = \frac{5}{3}$

Passaggio 3.3.2

Sottrai $10$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 B = - 10$

$A = \frac{5}{3}$

Passaggio 3.3.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 B = - 10$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 B = - 10$ .

$\frac{3 B}{3} = \frac{- 10}{3}$

$A = \frac{5}{3}$

Passaggio 3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 B}{3} = \frac{- 10}{3}$

$A = \frac{5}{3}$

Passaggio 3.3.3.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{- 10}{3}$

$A = \frac{5}{3}$

$B = \frac{- 10}{3}$

$A = \frac{5}{3}$

$B = \frac{- 10}{3}$

$A = \frac{5}{3}$

Passaggio 3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$B = - \frac{10}{3}$

$A = \frac{5}{3}$

$B = - \frac{10}{3}$

$A = \frac{5}{3}$

$B = - \frac{10}{3}$

$A = \frac{5}{3}$

$B = - \frac{10}{3}$

$A = \frac{5}{3}$

Passaggio 3.4

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = - \frac{10}{3} A = \frac{5}{3}$

Passaggio 3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$B = - \frac{10}{3}, A = \frac{5}{3}$

Passaggio 4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x} + \frac{B}{2 x + 1}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{5}{3}}{x} + \frac{- \frac{10}{3}}{2 x + 1}$