Precalcolo Esempi

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} - 1 x - 30}{x - 2}$

Passaggio 1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} - x - 30}{x - 2}$

Passaggio 1.2

Riscrivi $x^{3} + 6 x^{2} - x - 30$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 1.2.1

Scomponi $x^{3} + 6 x^{2} - x - 30$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 1.2.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

$q = \pm 1$

Passaggio 1.2.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

Passaggio 1.2.1.3

Sostituisci $2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $2$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 1.2.1.3.1

Sostituisci $2$ nel polinomio.

$2^{3} + 6 \cdot 2^{2} - 2 - 30$

Passaggio 1.2.1.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$8 + 6 \cdot 2^{2} - 2 - 30$

Passaggio 1.2.1.3.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$8 + 6 \cdot 4 - 2 - 30$

Passaggio 1.2.1.3.4

Moltiplica $6$ per $4$ .

$8 + 24 - 2 - 30$

Passaggio 1.2.1.3.5

Somma $8$ e $24$ .

$32 - 2 - 30$

Passaggio 1.2.1.3.6

Sottrai $2$ da $32$ .

$30 - 30$

Passaggio 1.2.1.3.7

Sottrai $30$ da $30$ .

$0$

Passaggio 1.2.1.4

Poiché $2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} - x - 30}{x - 2}$

Passaggio 1.2.1.5

Dividi $x^{3} + 6 x^{2} - x - 30$ per $x - 2$ .

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Passaggio 1.2.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$x$

$30$

Passaggio 1.2.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$x$	-	$30$

Passaggio 1.2.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$x$	-	$30$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Passaggio 1.2.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Passaggio 1.2.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$

Passaggio 1.2.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$x$

Passaggio 1.2.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $8 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$x$

Passaggio 1.2.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$x$
					+	$8 x^{2}$	-	$16 x$

Passaggio 1.2.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $8 x^{2} - 16 x$

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$x$
					-	$8 x^{2}$	+	$16 x$

Passaggio 1.2.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$x$
					-	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$15 x$

Passaggio 1.2.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$x$
					-	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$15 x$	-	$30$

Passaggio 1.2.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $15 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$15$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$x$
					-	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$15 x$	-	$30$

Passaggio 1.2.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$15$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$x$
					-	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$15 x$	-	$30$
							+	$15 x$	-	$30$

Passaggio 1.2.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $15 x - 30$

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$15$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$x$
					-	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$15 x$	-	$30$
							-	$15 x$	+	$30$

Passaggio 1.2.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$15$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$x$
					-	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$15 x$	-	$30$
							-	$15 x$	+	$30$
										$0$

Passaggio 1.2.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} + 8 x + 15$

Passaggio 1.2.1.6

Scrivi $x^{3} + 6 x^{2} - x - 30$ come insieme di fattori.

$\frac{(x - 2) (x^{2} + 8 x + 15)}{x - 2}$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $x^{2} + 8 x + 15$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.2.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $15$ e la cui somma è $8$ .

$3, 5$

Passaggio 1.2.2.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{(x - 2) ((x + 3) (x + 5))}{x - 2}$

$\frac{(x - 2) (x + 3) (x + 5)}{x - 2}$

Passaggio 2

Elimina il fattore comune di $x - 2$ .

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Passaggio 2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x - 2) (x + 3) (x + 5)}{x - 2}$

Passaggio 2.2

Dividi $(x + 3) (x + 5)$ per $1$ .

$(x + 3) (x + 5)$

Passaggio 3

Espandi $(x + 3) (x + 5)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$x (x + 5) + 3 (x + 5)$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 5 + 3 (x + 5)$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 5 + 3 x + 3 \cdot 5$

Passaggio 4

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + x \cdot 5 + 3 x + 3 \cdot 5$

Passaggio 4.1.2

Sposta $5$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} + 5 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 5$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $3$ per $5$ .

$x^{2} + 5 x + 3 x + 15$

Passaggio 4.2

Somma $5 x$ e $3 x$ .

$x^{2} + 8 x + 15$