Precalcolo Esempi

$\frac{\frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{9} x^{2} + \frac{2}{27} x - \frac{1}{81}}{x - \frac{1}{3}}$

Passaggio 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $81$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica $\frac{\frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{9} x^{2} + \frac{2}{27} x - \frac{1}{81}}{x - \frac{1}{3}}$ per $\frac{81}{81}$ .

$\frac{81}{81} \cdot \frac{\frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{9} x^{2} + \frac{2}{27} x - \frac{1}{81}}{x - \frac{1}{3}}$

Passaggio 1.2

Combina.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{9} x^{2} + \frac{2}{27} x - \frac{1}{81})}{81 (x - \frac{1}{3})}$

Passaggio 2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) + 81 (- \frac{1}{81})}{81 x + 81 (- \frac{1}{3})}$

Passaggio 3

Semplifica cancellando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $81$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{81}$ nel numeratore.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) + 81 (\frac{- 1}{81})}{81 x + 81 (- \frac{1}{3})}$

Passaggio 3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) + 81 (\frac{- 1}{81})}{81 x + 81 (- \frac{1}{3})}$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x + 81 (- \frac{1}{3})}$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{3}$ nel numeratore.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x + 81 (\frac{- 1}{3})}$

Passaggio 3.2.2

Scomponi $3$ da $81$ .

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x + 3 (27) \frac{- 1}{3}}$

Passaggio 3.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x + 3 \cdot 27 \frac{- 1}{3}}$

Passaggio 3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x + 27 \cdot - 1}$

Passaggio 3.3

Moltiplica $27$ per $- 1$ .

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x - 27}$

Passaggio 4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Scomponi $3$ da $81$ .

$\frac{3 (27) \frac{1}{3} x^{3} + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

Passaggio 4.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 27 \frac{1}{3} x^{3} + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

Passaggio 4.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{27 x^{3} + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

Passaggio 4.2

$x^{2}$ e $\frac{2}{9}$ .

$\frac{27 x^{3} + 81 (- \frac{x^{2} \cdot 2}{9}) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

Passaggio 4.3

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x^{2} \cdot 2}{9}$ nel numeratore.

$\frac{27 x^{3} + 81 \frac{- x^{2} \cdot 2}{9} + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

Passaggio 4.3.2

Scomponi $9$ da $81$ .

$\frac{27 x^{3} + 9 (9) \frac{- x^{2} \cdot 2}{9} + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

Passaggio 4.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{27 x^{3} + 9 \cdot 9 \frac{- x^{2} \cdot 2}{9} + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

Passaggio 4.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{27 x^{3} + 9 (- x^{2} \cdot 2) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

Passaggio 4.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{27 x^{3} + 9 (- 2 x^{2}) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

Passaggio 4.5

Moltiplica $- 2$ per $9$ .

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

Passaggio 4.6

Elimina il fattore comune di $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Scomponi $27$ da $81$ .

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 27 (3) \frac{2}{27} x - 1}{81 x - 27}$

Passaggio 4.6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 27 \cdot 3 \frac{2}{27} x - 1}{81 x - 27}$

Passaggio 4.6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 3 \cdot 2 x - 1}{81 x - 27}$

Passaggio 4.7

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 6 x - 1}{81 x - 27}$

Passaggio 4.8

Scomponi $27 x^{3} - 18 x^{2} + 6 x - 1$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 4.8.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 27, \pm 3, \pm 9$

Passaggio 4.8.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.\overline{037}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.\overline{1}$

Passaggio 4.8.3

Sostituisci $0.\overline{3}$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $0.\overline{3}$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.8.3.1

Sostituisci $0.\overline{3}$ nel polinomio.

$27 \cdot {0.\overline{3}}^{3} - 18 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

Passaggio 4.8.3.2

Eleva $0.\overline{3}$ alla potenza di $3$ .

$27 \cdot 0.\overline{037} - 18 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

Passaggio 4.8.3.3

Moltiplica $27$ per $0.\overline{037}$ .

$1 - 18 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

Passaggio 4.8.3.4

Eleva $0.\overline{3}$ alla potenza di $2$ .

$1 - 18 \cdot 0.\overline{1} + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

Passaggio 4.8.3.5

Moltiplica $- 18$ per $0.\overline{1}$ .

$1 - 2 + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

Passaggio 4.8.3.6

Sottrai $2$ da $1$ .

$- 1 + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

Passaggio 4.8.3.7

Moltiplica $6$ per $0.\overline{3}$ .

$- 1 + 2 - 1$

Passaggio 4.8.3.8

Somma $- 1$ e $2$ .

$1 - 1$

Passaggio 4.8.3.9

Sottrai $1$ da $1$ .

$0$

Passaggio 4.8.4

Poiché $0.\overline{3}$ è una radice nota, dividi il polinomio per $3 x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 6 x - 1}{3 x - 1}$

Passaggio 4.8.5

Dividi $27 x^{3} - 18 x^{2} + 6 x - 1$ per $3 x - 1$ .

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Passaggio 4.8.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$3 x$

$1$

$27 x^{3}$

$18 x^{2}$

$6 x$

$1$

Passaggio 4.8.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $27 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

					$9 x^{2}$
	$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$

Passaggio 4.8.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$9 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			+	$27 x^{3}$	-	$9 x^{2}$

Passaggio 4.8.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $27 x^{3} - 9 x^{2}$

				$9 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$

Passaggio 4.8.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$9 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$

Passaggio 4.8.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$9 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$

Passaggio 4.8.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 9 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

				$9 x^{2}$	-	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$

Passaggio 4.8.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$9 x^{2}$	-	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$3 x$

Passaggio 4.8.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 9 x^{2} + 3 x$

				$9 x^{2}$	-	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$

Passaggio 4.8.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$9 x^{2}$	-	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$

Passaggio 4.8.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$9 x^{2}$	-	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$	-	$1$

Passaggio 4.8.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $3 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

				$9 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$	-	$1$

Passaggio 4.8.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$9 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$	-	$1$
							+	$3 x$	-	$1$

Passaggio 4.8.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $3 x - 1$

				$9 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$	-	$1$
							-	$3 x$	+	$1$

Passaggio 4.8.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$9 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$	-	$1$
							-	$3 x$	+	$1$
										$0$

Passaggio 4.8.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$9 x^{2} - 3 x + 1$

Passaggio 4.8.6

Scrivi $27 x^{3} - 18 x^{2} + 6 x - 1$ come insieme di fattori.

$\frac{(3 x - 1) (9 x^{2} - 3 x + 1)}{81 x - 27}$

Passaggio 5

Scomponi $27$ da $81 x - 27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Scomponi $27$ da $81 x$ .

$\frac{(3 x - 1) (9 x^{2} - 3 x + 1)}{27 (3 x) - 27}$

Passaggio 5.2

Scomponi $27$ da $- 27$ .

$\frac{(3 x - 1) (9 x^{2} - 3 x + 1)}{27 (3 x) + 27 (- 1)}$

Passaggio 5.3

Scomponi $27$ da $27 (3 x) + 27 (- 1)$ .

$\frac{(3 x - 1) (9 x^{2} - 3 x + 1)}{27 (3 x - 1)}$

Passaggio 6

Elimina il fattore comune di $3 x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(3 x - 1) (9 x^{2} - 3 x + 1)}{27 (3 x - 1)}$

Passaggio 6.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{9 x^{2} - 3 x + 1}{27}$

Passaggio 7

Dividi la frazione $\frac{9 x^{2} - 3 x + 1}{27}$ in due frazioni.

$\frac{9 x^{2} - 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

Passaggio 8

Dividi la frazione $\frac{9 x^{2} - 3 x}{27}$ in due frazioni.

$\frac{9 x^{2}}{27} + \frac{- 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

Passaggio 9

Elimina il fattore comune di $9$ e $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Scomponi $9$ da $9 x^{2}$ .

$\frac{9 (x^{2})}{27} + \frac{- 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

Passaggio 9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$\frac{9 x^{2}}{9 \cdot 3} + \frac{- 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

Passaggio 9.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 x^{2}}{9 \cdot 3} + \frac{- 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

Passaggio 9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{- 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

Passaggio 10

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Scomponi $3$ da $- 3 x$ .

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{3 (- x)}{27} + \frac{1}{27}$

Passaggio 10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Scomponi $3$ da $27$ .

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{3 (- x)}{3 (9)} + \frac{1}{27}$

Passaggio 10.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{3 (- x)}{3 \cdot 9} + \frac{1}{27}$

Passaggio 10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{- x}{9} + \frac{1}{27}$

Passaggio 11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{x^{2}}{3} - \frac{x}{9} + \frac{1}{27}$