Precalcolo Esempi

$2 x^{4} - x^{3} - 21 x^{2} + 9 x + 27 = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Raggruppa i termini.

$- x^{3} + 9 x + 2 x^{4} - 21 x^{2} + 27 = 0$

Passaggio 1.2

Scomponi $- x$ da $- x^{3} + 9 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $- x$ da $- x^{3}$ .

$- x \cdot x^{2} + 9 x + 2 x^{4} - 21 x^{2} + 27 = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $- x$ da $9 x$ .

$- x \cdot x^{2} - x \cdot - 9 + 2 x^{4} - 21 x^{2} + 27 = 0$

Passaggio 1.2.3

Scomponi $- x$ da $- x (x^{2}) - x (- 9)$ .

$- x (x^{2} - 9) + 2 x^{4} - 21 x^{2} + 27 = 0$

Passaggio 1.3

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$- x (x^{2} - 3^{2}) + 2 x^{4} - 21 x^{2} + 27 = 0$

Passaggio 1.4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

$- x ((x + 3) (x - 3)) + 2 x^{4} - 21 x^{2} + 27 = 0$

Passaggio 1.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 x^{4} - 21 x^{2} + 27 = 0$

Passaggio 1.5

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 {(x^{2})}^{2} - 21 x^{2} + 27 = 0$

Passaggio 1.6

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 u^{2} - 21 u + 27 = 0$

Passaggio 1.7

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot 27 = 54$ e la cui somma è $b = - 21$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.1

Scomponi $- 21$ da $- 21 u$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 u^{2} - 21 u + 27 = 0$

Passaggio 1.7.1.2

Riscrivi $- 21$ come $- 3$ più $- 18$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 u^{2} + (- 3 - 18) u + 27 = 0$

Passaggio 1.7.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 u^{2} - 3 u - 18 u + 27 = 0$

Passaggio 1.7.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 u^{2} - 3 u - 18 u + 27 = 0$

Passaggio 1.7.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$- x (x + 3) (x - 3) + u (2 u - 3) - 9 (2 u - 3) = 0$

Passaggio 1.7.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 u - 3$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + (2 u - 3) (u - 9) = 0$

Passaggio 1.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + (2 x^{2} - 3) (x^{2} - 9) = 0$

Passaggio 1.9

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + (2 x^{2} - 3) (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Passaggio 1.10

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + (2 x^{2} - 3) ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Passaggio 1.10.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- x (x + 3) (x - 3) + (2 x^{2} - 3) (x + 3) (x - 3) = 0$

Passaggio 1.11

Scomponi $(x + 3) (x - 3)$ da $- x (x + 3) (x - 3) + (2 x^{2} - 3) (x + 3) (x - 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.11.1

Scomponi $(x + 3) (x - 3)$ da $- x (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (- x) + (2 x^{2} - 3) (x + 3) (x - 3) = 0$

Passaggio 1.11.2

Scomponi $(x + 3) (x - 3)$ da $(2 x^{2} - 3) (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (- x) + (x + 3) (x - 3) (2 x^{2} - 3) = 0$

Passaggio 1.11.3

Scomponi $(x + 3) (x - 3)$ da $(x + 3) (x - 3) (- x) + (x + 3) (x - 3) (2 x^{2} - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (- x + 2 x^{2} - 3) = 0$

Passaggio 1.12

Sia $u = x$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ con $u$ .

$(x + 3) (x - 3) (- u + 2 u^{2} - 3) = 0$

Passaggio 1.13

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.13.1

Riordina i termini.

$(x + 3) (x - 3) (2 u^{2} - u - 3) = 0$

Passaggio 1.13.2

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ e la cui somma è $b = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.13.2.1

Scomponi $- 1$ da $- u$ .

$(x + 3) (x - 3) (2 u^{2} - (u) - 3) = 0$

Passaggio 1.13.2.2

Riscrivi $- 1$ come $2$ più $- 3$ .

$(x + 3) (x - 3) (2 u^{2} + (2 - 3) u - 3) = 0$

Passaggio 1.13.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$(x + 3) (x - 3) (2 u^{2} + 2 u - 3 u - 3) = 0$

Passaggio 1.13.3

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.13.3.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x + 3) (x - 3) ((2 u^{2} + 2 u) - 3 u - 3) = 0$

Passaggio 1.13.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x + 3) (x - 3) (2 u (u + 1) - 3 (u + 1)) = 0$

Passaggio 1.13.4

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $u + 1$ .

$(x + 3) (x - 3) ((u + 1) (2 u - 3)) = 0$

Passaggio 1.14

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.14.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$(x + 3) (x - 3) ((x + 1) (2 x - 3)) = 0$

Passaggio 1.14.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 3) (x - 3) (x + 1) (2 x - 3) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

$2 x - 3 = 0$

Passaggio 3

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 3.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 4

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 4.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 5

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 6

Imposta $2 x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta $2 x - 3$ uguale a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $2 x - 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 3$

Passaggio 6.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 3$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Passaggio 6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Passaggio 6.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 3) (x - 3) (x + 1) (2 x - 3) = 0$ vera.

$x = - 3, 3, - 1, \frac{3}{2}$

Passaggio 8