Precalcolo Esempi

$\sin (2 x) \sin (x) = \cos (x)$

Passaggio 1

Sottrai $\cos (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sin (2 x) \sin (x) - \cos (x) = 0$

Passaggio 2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$2 \sin (x) \cos (x) \sin (x) - \cos (x) = 0$

Passaggio 2.2

Moltiplica $2 \sin (x) \cos (x) \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$2 (\sin (x) \sin (x)) \cos (x) - \cos (x) = 0$

Passaggio 2.2.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$2 (\sin (x) \sin (x)) \cos (x) - \cos (x) = 0$

Passaggio 2.2.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x) - \cos (x) = 0$

Passaggio 2.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$2 \sin^{2} (x) \cos (x) - \cos (x) = 0$

Passaggio 3

Scomponi $\cos (x)$ da $2 \sin^{2} (x) \cos (x) - \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi $\cos (x)$ da $2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) (2 \sin^{2} (x)) - \cos (x) = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi $\cos (x)$ da $- \cos (x)$ .

$\cos (x) (2 \sin^{2} (x)) + \cos (x) \cdot - 1 = 0$

Passaggio 3.3

Scomponi $\cos (x)$ da $\cos (x) (2 \sin^{2} (x)) + \cos (x) \cdot - 1$ .

$\cos (x) (2 \sin^{2} (x) - 1) = 0$

Passaggio 4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Passaggio 5

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $\cos (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (0)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 5.2.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 5.2.4.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 5.2.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 5.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 5.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 5.2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 5.2.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

Imposta $2 \sin^{2} (x) - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta $2 \sin^{2} (x) - 1$ uguale a $0$ .

$2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 \sin^{2} (x) = 1$

Passaggio 6.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \sin^{2} (x) = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \sin^{2} (x) = 1$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2.2.2.1.2

Dividi $\sin^{2} (x)$ per $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.2.4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{2}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 6.2.4.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Passaggio 6.2.4.3

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 6.2.4.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.4.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 6.2.4.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 6.2.4.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 6.2.4.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 6.2.4.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 6.2.4.4.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 6.2.4.4.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 6.2.4.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 6.2.4.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 6.2.4.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 6.2.4.4.6.5

Calcola l'esponente.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 6.2.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 6.2.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 6.2.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 6.2.6

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 6.2.7

Risolvi per $x$ in $\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.7.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 6.2.7.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.7.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ è $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 6.2.7.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - \frac{π}{4}$

Passaggio 6.2.7.4

Semplifica $π - \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.7.4.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 6.2.7.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.7.4.2.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 6.2.7.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 6.2.7.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.7.4.3.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Passaggio 6.2.7.4.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 6.2.7.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.7.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 6.2.7.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 6.2.7.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 6.2.7.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 6.2.7.6

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6.2.8

Risolvi per $x$ in $\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.8.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 6.2.8.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.8.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ è $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Passaggio 6.2.8.3

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Passaggio 6.2.8.4

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.8.4.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Passaggio 6.2.8.4.2

L'angolo risultante di $\frac{5 π}{4}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Passaggio 6.2.8.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.8.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 6.2.8.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 6.2.8.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 6.2.8.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 6.2.8.6

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.8.6.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{4}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Passaggio 6.2.8.6.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 6.2.8.6.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.8.6.3.1

$2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 6.2.8.6.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 6.2.8.6.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.8.6.4.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Passaggio 6.2.8.6.4.2

Sottrai $π$ da $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Passaggio 6.2.8.6.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{7 π}{4}$

Passaggio 6.2.8.7

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6.2.9

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6.2.10

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $\cos (x) (2 \sin^{2} (x) - 1) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8

Combina $\frac{π}{2} + 2 π n$ e $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ in $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9