Precalcolo Esempi

$f (x) = - \cos (2 x) + \cos^{2} (x)$

Passaggio 1

Imposta $- \cos (2 x) + \cos^{2} (x)$ uguale a $0$ .

$- \cos (2 x) + \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.1

Usa l'identità a doppio angolo per trasformare $\cos (2 x)$ in $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$- (1 - 2 \sin^{2} (x)) + \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica $- (1 - 2 \sin^{2} (x)) + \cos^{2} (x)$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.2.1.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 1 \cdot 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) + \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2.1.1.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) + \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2.1.1.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$- 1 + 2 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2.1.1.2

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 2.2.1.1.2.1

Sposta $\cos^{2} (x)$ .

$- 1 + \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2.1.1.2.2

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$- 1 (1) + \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2.1.1.2.3

Scomponi $- 1$ da $\cos^{2} (x)$ .

$- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2.1.1.2.4

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$- 1 (1 - \cos^{2} (x)) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2.1.1.2.5

Riscrivi $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ come $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$- (1 - \cos^{2} (x)) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Applica l'identità pitagorica.

$- \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Somma $- \sin^{2} (x)$ e $2 \sin^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 2.3.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\sin (x) = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.3.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\sin (x) = \pm 0$

Passaggio 2.3.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$\sin (x) = 0$

Passaggio 2.3.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (0)$

Passaggio 2.3.4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.4.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.3.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - 0$

Passaggio 2.3.6

Sottrai $0$ da $π$ .

$x = π$

Passaggio 2.3.7

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

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Passaggio 2.3.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.3.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 2.3.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 2.3.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 2.3.8

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.4

Consolida le risposte.

$x = π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3