Precalcolo Esempi

$f (x) = x^{4} - x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 2$

Passaggio 1

Imposta $x^{4} - x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 2$ uguale a $0$ .

$x^{4} - x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 2 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Raggruppa i termini.

$x^{4} - x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 2 = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $x^{3}$ da $x^{4} - x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Scomponi $x^{3}$ da $x^{4}$ .

$x^{3} x - x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 2 = 0$

Passaggio 2.1.2.2

Scomponi $x^{3}$ da $- x^{3}$ .

$x^{3} x + x^{3} \cdot - 1 - 3 x^{2} + 5 x - 2 = 0$

Passaggio 2.1.2.3

Scomponi $x^{3}$ da $x^{3} x + x^{3} \cdot - 1$ .

$x^{3} (x - 1) - 3 x^{2} + 5 x - 2 = 0$

Passaggio 2.1.3

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 3 \cdot - 2 = 6$ e la cui somma è $b = 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1.1

Scomponi $5$ da $5 x$ .

$x^{3} (x - 1) - 3 x^{2} + 5 (x) - 2 = 0$

Passaggio 2.1.3.1.2

Riscrivi $5$ come $2$ più $3$ .

$x^{3} (x - 1) - 3 x^{2} + (2 + 3) x - 2 = 0$

Passaggio 2.1.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{3} (x - 1) - 3 x^{2} + 2 x + 3 x - 2 = 0$

Passaggio 2.1.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$x^{3} (x - 1) - 3 x^{2} + 2 x + 3 x - 2 = 0$

Passaggio 2.1.3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x^{3} (x - 1) + x (- 3 x + 2) - (- 3 x + 2) = 0$

Passaggio 2.1.3.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- 3 x + 2$ .

$x^{3} (x - 1) + (- 3 x + 2) (x - 1) = 0$

Passaggio 2.1.4

Scomponi $x - 1$ da $x^{3} (x - 1) + (- 3 x + 2) (x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Scomponi $x - 1$ da $x^{3} (x - 1)$ .

$(x - 1) x^{3} + (- 3 x + 2) (x - 1) = 0$

Passaggio 2.1.4.2

Scomponi $x - 1$ da $(- 3 x + 2) (x - 1)$ .

$(x - 1) x^{3} + (x - 1) (- 3 x + 2) = 0$

Passaggio 2.1.4.3

Scomponi $x - 1$ da $(x - 1) x^{3} + (x - 1) (- 3 x + 2)$ .

$(x - 1) (x^{3} - 3 x + 2) = 0$

Passaggio 2.1.5

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Riscrivi $x^{3} - 3 x + 2$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 2.1.5.1.1

Scomponi $x^{3} - 3 x + 2$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 2.1.5.1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Passaggio 2.1.5.1.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 2$

Passaggio 2.1.5.1.1.3

Sostituisci $1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $1$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1.1.3.1

Sostituisci $1$ nel polinomio.

$1^{3} - 3 \cdot 1 + 2$

Passaggio 2.1.5.1.1.3.2

Eleva $1$ alla potenza di $3$ .

$1 - 3 \cdot 1 + 2$

Passaggio 2.1.5.1.1.3.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$1 - 3 + 2$

Passaggio 2.1.5.1.1.3.4

Sottrai $3$ da $1$ .

$- 2 + 2$

Passaggio 2.1.5.1.1.3.5

Somma $- 2$ e $2$ .

$0$

Passaggio 2.1.5.1.1.4

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - 3 x + 2}{x - 1}$

Passaggio 2.1.5.1.1.5

Dividi $x^{3} - 3 x + 2$ per $x - 1$ .

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Passaggio 2.1.5.1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2$

Passaggio 2.1.5.1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$

Passaggio 2.1.5.1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 2.1.5.1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 2.1.5.1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Passaggio 2.1.5.1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$

Passaggio 2.1.5.1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$

Passaggio 2.1.5.1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Passaggio 2.1.5.1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} - x$

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Passaggio 2.1.5.1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$

Passaggio 2.1.5.1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$

Passaggio 2.1.5.1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 2 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$

Passaggio 2.1.5.1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	+	$2$

Passaggio 2.1.5.1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 2 x + 2$

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	-	$2$

Passaggio 2.1.5.1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	-	$2$
										$0$

Passaggio 2.1.5.1.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} + x - 2$

Passaggio 2.1.5.1.1.6

Scrivi $x^{3} - 3 x + 2$ come insieme di fattori.

$(x - 1) ((x - 1) (x^{2} + x - 2)) = 0$

Passaggio 2.1.5.1.2

Scomponi $x^{2} + x - 2$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1.2.1

Scomponi $x^{2} + x - 2$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 2$ e la cui somma è $1$ .

$- 1, 2$

Passaggio 2.1.5.1.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 1) ((x - 1) ((x - 1) (x + 2))) = 0$

Passaggio 2.1.5.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 1) ((x - 1) (x - 1) (x + 2)) = 0$

Passaggio 2.1.5.1.3

Combina i fattori comuni.

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Passaggio 2.1.5.1.3.1

Eleva $x - 1$ alla potenza di $1$ .

$(x - 1) ((x - 1) (x - 1) (x + 2)) = 0$

Passaggio 2.1.5.1.3.2

Eleva $x - 1$ alla potenza di $1$ .

$(x - 1) ((x - 1) (x - 1) (x + 2)) = 0$

Passaggio 2.1.5.1.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(x - 1) ({(x - 1)}^{1 + 1} (x + 2)) = 0$

Passaggio 2.1.5.1.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$(x - 1) ({(x - 1)}^{2} (x + 2)) = 0$

Passaggio 2.1.5.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 1) {(x - 1)}^{2} (x + 2) = 0$

Passaggio 2.1.6

Moltiplica $x - 1$ per ${(x - 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1

Moltiplica $x - 1$ per ${(x - 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1.1

Eleva $x - 1$ alla potenza di $1$ .

$(x - 1) {(x - 1)}^{2} (x + 2) = 0$

Passaggio 2.1.6.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${(x - 1)}^{1 + 2} (x + 2) = 0$

Passaggio 2.1.6.2

Somma $1$ e $2$ .

${(x - 1)}^{3} (x + 2) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(x - 1)}^{3} = 0$

$x + 2 = 0$

Passaggio 2.3

Imposta ${(x - 1)}^{3}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.3.1

Imposta ${(x - 1)}^{3}$ uguale a $0$ .

${(x - 1)}^{3} = 0$

Passaggio 2.3.2

Risolvi ${(x - 1)}^{3} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Poni $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.3.2.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 2.4

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 2.4.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono ${(x - 1)}^{3} (x + 2) = 0$ vera.

$x = 1, - 2$

Passaggio 3