Precalcolo Esempi

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3} - 15 x^{2} + 18 x + 54$

Passaggio 1

Imposta $x^{4} - 2 x^{3} - 15 x^{2} + 18 x + 54$ uguale a $0$ .

$x^{4} - 2 x^{3} - 15 x^{2} + 18 x + 54 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.1.1

Raggruppa i termini.

$- 2 x^{3} + 18 x + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $- 2 x$ da $- 2 x^{3} + 18 x$ .

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Passaggio 2.1.2.1

Scomponi $- 2 x$ da $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x \cdot x^{2} + 18 x + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Passaggio 2.1.2.2

Scomponi $- 2 x$ da $18 x$ .

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot - 9 + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Passaggio 2.1.2.3

Scomponi $- 2 x$ da $- 2 x (x^{2}) - 2 x (- 9)$ .

$- 2 x (x^{2} - 9) + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Passaggio 2.1.3

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$- 2 x (x^{2} - 3^{2}) + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Passaggio 2.1.4

Scomponi.

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Passaggio 2.1.4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

$- 2 x ((x + 3) (x - 3)) + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Passaggio 2.1.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Passaggio 2.1.5

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Passaggio 2.1.6

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + u^{2} - 15 u + 54 = 0$

Passaggio 2.1.7

Scomponi $u^{2} - 15 u + 54$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.1.7.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $54$ e la cui somma è $- 15$ .

$- 9, - 6$

Passaggio 2.1.7.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + (u - 9) (u - 6) = 0$

Passaggio 2.1.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x^{2} - 6) = 0$

Passaggio 2.1.9

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 3^{2}) (x^{2} - 6) = 0$

Passaggio 2.1.10

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 6) = 0$

Passaggio 2.1.11

Scomponi $(x + 3) (x - 3)$ da $- 2 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 6)$ .

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Passaggio 2.1.11.1

Scomponi $(x + 3) (x - 3)$ da $- 2 x (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (- 2 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 6) = 0$

Passaggio 2.1.11.2

Scomponi $(x + 3) (x - 3)$ da $(x + 3) (x - 3) (- 2 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 6)$ .

$(x + 3) (x - 3) (- 2 x + x^{2} - 6) = 0$

Passaggio 2.1.12

Riordina i termini.

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 2 x - 6) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x^{2} - 2 x - 6 = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.3.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 2.4

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 2.5

Imposta $x^{2} - 2 x - 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $x^{2} - 2 x - 6$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 2 x - 6 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $x^{2} - 2 x - 6 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.5.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.5.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = - 6$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 6)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.5.2.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.5.2.3.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

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Passaggio 2.5.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 6$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3.1.3

Somma $4$ e $24$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3.1.4

Riscrivi $28$ come $2^{2} \cdot 7$ .

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Passaggio 2.5.2.3.1.4.1

Scomponi $4$ da $28$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Passaggio 2.5.2.3.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{7}$

Passaggio 2.5.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = 1 + \sqrt{7}, 1 - \sqrt{7}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 2 x - 6) = 0$ vera.

$x = - 3, 3, 1 + \sqrt{7}, 1 - \sqrt{7}$

Passaggio 3

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = - 3, 3, 1 + \sqrt{7}, 1 - \sqrt{7}$

Forma decimale:

$x = - 3, 3, 3.64575131 \dots, - 1.64575131 \dots$

Passaggio 4