Precalcolo Esempi

$f (x) = x^{6} + 4 x^{4} - 41 x^{2} + 36$

Passaggio 1

Imposta $x^{6} + 4 x^{4} - 41 x^{2} + 36$ uguale a $0$ .

$x^{6} + 4 x^{4} - 41 x^{2} + 36 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Scomponi $x^{6} + 4 x^{4} - 41 x^{2} + 36$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

$q = \pm 1$

Passaggio 2.1.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

Passaggio 2.1.1.3

Sostituisci $- 1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 1$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1

Sostituisci $- 1$ nel polinomio.

${(- 1)}^{6} + 4 {(- 1)}^{4} - 41 {(- 1)}^{2} + 36$

Passaggio 2.1.1.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $6$ .

$1 + 4 {(- 1)}^{4} - 41 {(- 1)}^{2} + 36$

Passaggio 2.1.1.3.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$1 + 4 \cdot 1 - 41 {(- 1)}^{2} + 36$

Passaggio 2.1.1.3.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$1 + 4 - 41 {(- 1)}^{2} + 36$

Passaggio 2.1.1.3.5

Somma $1$ e $4$ .

$5 - 41 {(- 1)}^{2} + 36$

Passaggio 2.1.1.3.6

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$5 - 41 \cdot 1 + 36$

Passaggio 2.1.1.3.7

Moltiplica $- 41$ per $1$ .

$5 - 41 + 36$

Passaggio 2.1.1.3.8

Sottrai $41$ da $5$ .

$- 36 + 36$

Passaggio 2.1.1.3.9

Somma $- 36$ e $36$ .

$0$

Passaggio 2.1.1.4

Poiché $- 1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{6} + 4 x^{4} - 41 x^{2} + 36}{x + 1}$

Passaggio 2.1.1.5

Dividi $x^{6} + 4 x^{4} - 41 x^{2} + 36$ per $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

Passaggio 2.1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{6}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

Passaggio 2.1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

Passaggio 2.1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{6} + x^{5}$

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

Passaggio 2.1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

Passaggio 2.1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

Passaggio 2.1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x^{5}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

Passaggio 2.1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

Passaggio 2.1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x^{5} - x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

Passaggio 2.1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

Passaggio 2.1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

Passaggio 2.1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $5 x^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

Passaggio 2.1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

Passaggio 2.1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $5 x^{4} + 5 x^{3}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

Passaggio 2.1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

Passaggio 2.1.1.5.16

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

Passaggio 2.1.1.5.17

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 5 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

Passaggio 2.1.1.5.18

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

Passaggio 2.1.1.5.19

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 5 x^{3} - 5 x^{2}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

Passaggio 2.1.1.5.20

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

Passaggio 2.1.1.5.21

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

Passaggio 2.1.1.5.22

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 36 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

Passaggio 2.1.1.5.23

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

Passaggio 2.1.1.5.24

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 36 x^{2} - 36 x$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

Passaggio 2.1.1.5.25

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

Passaggio 2.1.1.5.26

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

$36$

Passaggio 2.1.1.5.27

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $36 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$36$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

$36$

Passaggio 2.1.1.5.28

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$36$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

$36$

$36 x$

$36$

Passaggio 2.1.1.5.29

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $36 x + 36$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$36$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

$36$

$36 x$

$36$

Passaggio 2.1.1.5.30

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$36$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

$36$

$36 x$

$36$

$0$

Passaggio 2.1.1.5.31

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{5} - x^{4} + 5 x^{3} - 5 x^{2} - 36 x + 36$

Passaggio 2.1.1.6

Scrivi $x^{6} + 4 x^{4} - 41 x^{2} + 36$ come insieme di fattori.

$(x + 1) (x^{5} - x^{4} + 5 x^{3} - 5 x^{2} - 36 x + 36) = 0$

Passaggio 2.1.2

Raggruppa i termini.

$(x + 1) (x^{5} + 5 x^{3} - 36 x - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $x$ da $x^{5} + 5 x^{3} - 36 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Scomponi $x$ da $x^{5}$ .

$(x + 1) (x \cdot x^{4} + 5 x^{3} - 36 x - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Passaggio 2.1.3.2

Scomponi $x$ da $5 x^{3}$ .

$(x + 1) (x \cdot x^{4} + x (5 x^{2}) - 36 x - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Passaggio 2.1.3.3

Scomponi $x$ da $- 36 x$ .

$(x + 1) (x \cdot x^{4} + x (5 x^{2}) + x \cdot - 36 - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Passaggio 2.1.3.4

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{4} + x (5 x^{2})$ .

$(x + 1) (x (x^{4} + 5 x^{2}) + x \cdot - 36 - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Passaggio 2.1.3.5

Scomponi $x$ da $x (x^{4} + 5 x^{2}) + x \cdot - 36$ .

$(x + 1) (x (x^{4} + 5 x^{2} - 36) - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Passaggio 2.1.4

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$(x + 1) (x ({(x^{2})}^{2} + 5 x^{2} - 36) - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Passaggio 2.1.5

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$(x + 1) (x (u^{2} + 5 u - 36) - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Passaggio 2.1.6

Scomponi $u^{2} + 5 u - 36$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 36$ e la cui somma è $5$ .

$- 4, 9$

Passaggio 2.1.6.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x + 1) (x ((u - 4) (u + 9)) - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Passaggio 2.1.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$(x + 1) (x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 9)) - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Passaggio 2.1.8

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$(x + 1) (x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 9)) - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Passaggio 2.1.9

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.9.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$(x + 1) (x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9)) - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Passaggio 2.1.9.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Passaggio 2.1.10

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) - {(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Passaggio 2.1.11

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) - u^{2} - 5 u + 36) = 0$

Passaggio 2.1.12

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.12.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 36 = - 36$ e la cui somma è $b = - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.12.1.1

Scomponi $- 5$ da $- 5 u$ .

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) - u^{2} - 5 u + 36) = 0$

Passaggio 2.1.12.1.2

Riscrivi $- 5$ come $4$ più $- 9$ .

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) - u^{2} + (4 - 9) u + 36) = 0$

Passaggio 2.1.12.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) - u^{2} + 4 u - 9 u + 36) = 0$

Passaggio 2.1.12.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.12.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) - u^{2} + 4 u - 9 u + 36) = 0$

Passaggio 2.1.12.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + u (- u + 4) + 9 (- u + 4)) = 0$

Passaggio 2.1.12.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- u + 4$ .

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + (- u + 4) (u + 9)) = 0$

Passaggio 2.1.13

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + (- x^{2} + 4) (x^{2} + 9)) = 0$

Passaggio 2.1.14

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + (- x^{2} + 2^{2}) (x^{2} + 9)) = 0$

Passaggio 2.1.15

Riordina $- x^{2}$ e $2^{2}$ .

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + (2^{2} - x^{2}) (x^{2} + 9)) = 0$

Passaggio 2.1.16

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 2$ e $b = x$ .

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + (2 + x) (2 - x) (x^{2} + 9)) = 0$

Passaggio 2.1.17

Scomponi $x^{2} + 9$ da $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + (2 + x) (2 - x) (x^{2} + 9)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.17.1

Scomponi $x^{2} + 9$ da $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9)$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x (x + 2) (x - 2)) + (2 + x) (2 - x) (x^{2} + 9)) = 0$

Passaggio 2.1.17.2

Scomponi $x^{2} + 9$ da $(2 + x) (2 - x) (x^{2} + 9)$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x (x + 2) (x - 2)) + (x^{2} + 9) ((2 + x) (2 - x))) = 0$

Passaggio 2.1.17.3

Scomponi $x^{2} + 9$ da $(x^{2} + 9) (x (x + 2) (x - 2)) + (x^{2} + 9) ((2 + x) (2 - x))$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x (x + 2) (x - 2) + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Passaggio 2.1.18

Applica la proprietà distributiva.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) ((x \cdot x + x \cdot 2) (x - 2) + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Passaggio 2.1.19

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) ((x^{2} + x \cdot 2) (x - 2) + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Passaggio 2.1.20

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) ((x^{2} + 2 x) (x - 2) + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Passaggio 2.1.21

Espandi $(x^{2} + 2 x) (x - 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.21.1

Applica la proprietà distributiva.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{2} (x - 2) + 2 x (x - 2) + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Passaggio 2.1.21.2

Applica la proprietà distributiva.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 2 x (x - 2) + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Passaggio 2.1.21.3

Applica la proprietà distributiva.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Passaggio 2.1.22

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.22.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.22.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.22.1.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.22.1.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Passaggio 2.1.22.1.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 2 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Passaggio 2.1.22.1.1.2

Somma $2$ e $1$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} + x^{2} \cdot - 2 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Passaggio 2.1.22.1.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 2 x^{2} + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Passaggio 2.1.22.1.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.22.1.3.1

Sposta $x$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 2 x^{2} + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Passaggio 2.1.22.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 2 x^{2} + 2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Passaggio 2.1.22.1.4

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 2 x^{2} + 2 x^{2} - 4 x + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Passaggio 2.1.22.2

Somma $- 2 x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} + 0 - 4 x + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Passaggio 2.1.22.3

Somma $x^{3}$ e $0$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Passaggio 2.1.23

Espandi $(2 + x) (2 - x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.23.1

Applica la proprietà distributiva.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 2 (2 - x) + x (2 - x))) = 0$

Passaggio 2.1.23.2

Applica la proprietà distributiva.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 2 \cdot 2 + 2 (- x) + x (2 - x))) = 0$

Passaggio 2.1.23.3

Applica la proprietà distributiva.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 2 \cdot 2 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x))) = 0$

Passaggio 2.1.24

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.24.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.24.1.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x))) = 0$

Passaggio 2.1.24.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 - 2 x + x \cdot 2 + x (- x))) = 0$

Passaggio 2.1.24.1.3

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 - 2 x + 2 x + x (- x))) = 0$

Passaggio 2.1.24.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 - 2 x + 2 x - x \cdot x)) = 0$

Passaggio 2.1.24.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.24.1.5.1

Sposta $x$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 - 2 x + 2 x - (x \cdot x))) = 0$

Passaggio 2.1.24.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 - 2 x + 2 x - x^{2})) = 0$

Passaggio 2.1.24.2

Somma $- 2 x$ e $2 x$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 + 0 - x^{2})) = 0$

Passaggio 2.1.24.3

Somma $4$ e $0$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 - x^{2})) = 0$

Passaggio 2.1.25

Riordina i termini.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - x^{2} - 4 x + 4)) = 0$

Passaggio 2.1.26

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.26.1

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.26.1.1

Riscrivi $x^{3} - x^{2} - 4 x + 4$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.26.1.1.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.26.1.1.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) ((x^{3} - x^{2}) - 4 x + 4)) = 0$

Passaggio 2.1.26.1.1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{2} (x - 1) - 4 (x - 1))) = 0$

Passaggio 2.1.26.1.1.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x - 1$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) ((x - 1) (x^{2} - 4))) = 0$

Passaggio 2.1.26.1.1.3

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) ((x - 1) (x^{2} - 2^{2}))) = 0$

Passaggio 2.1.26.1.1.4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.26.1.1.4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) ((x - 1) ((x + 2) (x - 2)))) = 0$

Passaggio 2.1.26.1.1.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) ((x - 1) (x + 2) (x - 2))) = 0$

Passaggio 2.1.26.1.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x - 1) (x + 2) (x - 2)) = 0$

Passaggio 2.1.26.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 1) (x^{2} + 9) (x - 1) (x + 2) (x - 2) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 2.4

Imposta $x^{2} + 9$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x^{2} + 9$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $x^{2} + 9 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 9$

Passaggio 2.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Passaggio 2.4.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.3.1

Riscrivi $- 9$ come $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Passaggio 2.4.2.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (9)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Passaggio 2.4.2.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Passaggio 2.4.2.3.4

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Passaggio 2.4.2.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm i \cdot 3$

Passaggio 2.4.2.3.6

Sposta $3$ alla sinistra di $i$ .

$x = \pm 3 i$

Passaggio 2.4.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 3 i$

Passaggio 2.4.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 3 i$

Passaggio 2.4.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 3 i, - 3 i$

Passaggio 2.5

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 2.6

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 2.6.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 2.7

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.7.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 2.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 1) (x^{2} + 9) (x - 1) (x + 2) (x - 2) = 0$ vera.

$x = - 1, 3 i, - 3 i, 1, - 2, 2$

Passaggio 3