Precalcolo Esempi

$f (x) = x^{5} - 3 x^{4} - 3 x^{3} + 9 x^{2} - 4 x + 12$

Passaggio 1

Imposta $x^{5} - 3 x^{4} - 3 x^{3} + 9 x^{2} - 4 x + 12$ uguale a $0$ .

$x^{5} - 3 x^{4} - 3 x^{3} + 9 x^{2} - 4 x + 12 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Raggruppa i termini.

$x^{5} - 3 x^{3} - 4 x - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $x$ da $x^{5} - 3 x^{3} - 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Scomponi $x$ da $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} - 3 x^{3} - 4 x - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Passaggio 2.1.2.2

Scomponi $x$ da $- 3 x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2}) - 4 x - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Passaggio 2.1.2.3

Scomponi $x$ da $- 4 x$ .

$x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2}) + x \cdot - 4 - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Passaggio 2.1.2.4

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2})$ .

$x (x^{4} - 3 x^{2}) + x \cdot - 4 - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Passaggio 2.1.2.5

Scomponi $x$ da $x (x^{4} - 3 x^{2}) + x \cdot - 4$ .

$x (x^{4} - 3 x^{2} - 4) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Passaggio 2.1.3

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - 3 x^{2} - 4) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Passaggio 2.1.4

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$x (u^{2} - 3 u - 4) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Passaggio 2.1.5

Scomponi $u^{2} - 3 u - 4$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 4$ e la cui somma è $- 3$ .

$- 4, 1$

Passaggio 2.1.5.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$x ((u - 4) (u + 1)) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Passaggio 2.1.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 1)) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Passaggio 2.1.7

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 1)) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Passaggio 2.1.8

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.8.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Passaggio 2.1.8.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Passaggio 2.1.9

Scomponi $3$ da $- 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.9.1

Scomponi $3$ da $- 3 x^{4}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4}) + 9 x^{2} + 12 = 0$

Passaggio 2.1.9.2

Scomponi $3$ da $9 x^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4}) + 3 (3 x^{2}) + 12 = 0$

Passaggio 2.1.9.3

Scomponi $3$ da $12$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4}) + 3 (3 x^{2}) + 3 (4) = 0$

Passaggio 2.1.9.4

Scomponi $3$ da $3 (- x^{4}) + 3 (3 x^{2})$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4} + 3 x^{2}) + 3 (4) = 0$

Passaggio 2.1.9.5

Scomponi $3$ da $3 (- x^{4} + 3 x^{2}) + 3 (4)$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Passaggio 2.1.10

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- {(x^{2})}^{2} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Passaggio 2.1.11

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} + 3 u + 4) = 0$

Passaggio 2.1.12

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.12.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 4 = - 4$ e la cui somma è $b = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.12.1.1

Scomponi $3$ da $3 u$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} + 3 (u) + 4) = 0$

Passaggio 2.1.12.1.2

Riscrivi $3$ come $- 1$ più $4$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} + (- 1 + 4) u + 4) = 0$

Passaggio 2.1.12.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} - 1 u + 4 u + 4) = 0$

Passaggio 2.1.12.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.12.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- u^{2} - 1 u) + 4 u + 4) = 0$

Passaggio 2.1.12.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (u (- u - 1) - 4 (- u - 1)) = 0$

Passaggio 2.1.12.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- u - 1$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- u - 1) (u - 4)) = 0$

Passaggio 2.1.13

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) (x^{2} - 4)) = 0$

Passaggio 2.1.14

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) (x^{2} - 2^{2})) = 0$

Passaggio 2.1.15

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.15.1

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.15.1.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) ((x + 2) (x - 2))) = 0$

Passaggio 2.1.15.1.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2)) = 0$

Passaggio 2.1.15.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2) = 0$

Passaggio 2.1.16

Scomponi $(x + 2) (x - 2)$ da $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.16.1

Scomponi $(x + 2) (x - 2)$ da $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1)) + 3 (- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2) = 0$

Passaggio 2.1.16.2

Scomponi $(x + 2) (x - 2)$ da $3 (- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1)) + (x + 2) (x - 2) (3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Passaggio 2.1.16.3

Scomponi $(x + 2) (x - 2)$ da $(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1)) + (x + 2) (x - 2) (3 (- x^{2} - 1))$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Passaggio 2.1.17

Applica la proprietà distributiva.

$(x + 2) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Passaggio 2.1.18

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.1.18.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 2.1.18.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(x + 2) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Passaggio 2.1.18.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(x + 2) (x - 2) (x^{1 + 2} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Passaggio 2.1.18.2

Somma $1$ e $2$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Passaggio 2.1.19

Moltiplica $x$ per $1$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Passaggio 2.1.20

Applica la proprietà distributiva.

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot - 1) = 0$

Passaggio 2.1.21

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x - 3 x^{2} + 3 \cdot - 1) = 0$

Passaggio 2.1.22

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x - 3 x^{2} - 3) = 0$

Passaggio 2.1.23

Riordina i termini.

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} - 3 x^{2} + x - 3) = 0$

Passaggio 2.1.24

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.24.1

Riscrivi $x^{3} - 3 x^{2} + x - 3$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.24.1.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.24.1.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x + 2) (x - 2) ((x^{3} - 3 x^{2}) + x - 3) = 0$

Passaggio 2.1.24.1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} (x - 3) + 1 (x - 3)) = 0$

Passaggio 2.1.24.1.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x - 3$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x - 3) (x^{2} + 1)) = 0$

Passaggio 2.1.24.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 2) (x - 2) (x - 3) (x^{2} + 1) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 2.4

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 2.5

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 2.6

Imposta $x^{2} + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Imposta $x^{2} + 1$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Passaggio 2.6.2

Risolvi $x^{2} + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 1$

Passaggio 2.6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Passaggio 2.6.2.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i$

Passaggio 2.6.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = i$

Passaggio 2.6.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - i$

Passaggio 2.6.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = i, - i$

Passaggio 2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 2) (x - 2) (x - 3) (x^{2} + 1) = 0$ vera.

$x = - 2, 2, 3, i, - i$

Passaggio 3