Precalcolo Esempi

$\ln (x) + \ln (x + 10) = 4$

Passaggio 1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\ln (x) + \ln (x + 10) - 4 = 0$

Passaggio 2

Semplifica $\ln (x) + \ln (x + 10) - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x (x + 10)) - 4 = 0$

Passaggio 2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 10) - 4 = 0$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot 10) - 4 = 0$

Passaggio 2.2.3

Sposta $10$ alla sinistra di $x$ .

$\ln (x^{2} + 10 x) - 4 = 0$

Passaggio 3

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\ln (x^{2} + 10 x) = 4$

Passaggio 4

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione utilizzando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (x^{2} + 10 x)} = e^{4}$

Passaggio 5

Riscrivi $\ln (x^{2} + 10 x) = 4$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{4} = x^{2} + 10 x$

Passaggio 6

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $x^{2} + 10 x = e^{4}$ .

$x^{2} + 10 x = e^{4}$

Passaggio 6.2

Sottrai $e^{4}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + 10 x - e^{4} = 0$

Passaggio 6.3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 10$ e $c = - e^{4}$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- e^{4}))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1.1

Eleva $10$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot (- 1 e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 4 e^{4}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.1.3

Riscrivi $100 + 4 e^{4}$ come $2^{2} (25 + e^{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1.3.1

Scomponi $4$ da $100$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 e^{4}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.1.3.2

Scomponi $4$ da $4 e^{4}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.1.3.3

Scomponi $4$ da $4 (25) + 4 (e^{4})$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25 + e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.1.3.4

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} (25 + e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.1.4

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{4}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{4}}}{2}$

Passaggio 6.5.3

Semplifica $\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{4}}}{2}$ .

$x = - 5 \pm \sqrt{25 + e^{4}}$

Passaggio 6.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1.1

Eleva $10$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot (- 1 e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.6.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 4 e^{4}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.6.1.3

Riscrivi $100 + 4 e^{4}$ come $2^{2} (25 + e^{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1.3.1

Scomponi $4$ da $100$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 e^{4}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.6.1.3.2

Scomponi $4$ da $4 e^{4}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.6.1.3.3

Scomponi $4$ da $4 (25) + 4 (e^{4})$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25 + e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.6.1.3.4

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} (25 + e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.6.1.4

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{4}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.6.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{4}}}{2}$

Passaggio 6.6.3

Semplifica $\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{4}}}{2}$ .

$x = - 5 \pm \sqrt{25 + e^{4}}$

Passaggio 6.6.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = - 5 + \sqrt{25 + e^{4}}$

Passaggio 6.7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1.1

Eleva $10$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.7.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot (- 1 e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.7.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 4 e^{4}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.7.1.3

Riscrivi $100 + 4 e^{4}$ come $2^{2} (25 + e^{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1.3.1

Scomponi $4$ da $100$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 e^{4}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.7.1.3.2

Scomponi $4$ da $4 e^{4}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.7.1.3.3

Scomponi $4$ da $4 (25) + 4 (e^{4})$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25 + e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.7.1.3.4

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} (25 + e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.7.1.4

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{4}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.7.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{4}}}{2}$

Passaggio 6.7.3

Semplifica $\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{4}}}{2}$ .

$x = - 5 \pm \sqrt{25 + e^{4}}$

Passaggio 6.7.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = - 5 - \sqrt{25 + e^{4}}$

Passaggio 6.8

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - 5 + \sqrt{25 + e^{4}}, - 5 - \sqrt{25 + e^{4}}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = - 5 + \sqrt{25 + e^{4}}, - 5 - \sqrt{25 + e^{4}}$

Forma decimale:

$x = 3.92177953 \dots, - 13.92177953 \dots$