Precalcolo Esempi

$\tan^{2} (x) = \frac{3}{2} \cdot \sec (x)$

Passaggio 1

Sottrai $\frac{3}{2} \cdot \sec (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\tan^{2} (x) - \frac{3}{2} \cdot \sec (x) = 0$

Passaggio 2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$\sec (x)$ e $\frac{3}{2}$ .

$\tan^{2} (x) - \frac{\sec (x) \cdot 3}{2} = 0$

Passaggio 2.2

Sposta $3$ alla sinistra di $\sec (x)$ .

$\tan^{2} (x) - \frac{3 \sec (x)}{2} = 0$

Passaggio 3

Sostituisci $\tan^{2} (x)$ con $\sec^{2} (x) - 1$ in base all'identità $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(\sec^{2} (x) - 1) - \frac{3 \sec (x)}{2} = 0$

Passaggio 4

Riordina il polinomio.

$\sec^{2} (x) - \frac{3 \sec (x)}{2} - 1 = 0$

Passaggio 5

Sostituisci $\sec (x)$ per $u$ .

${(u)}^{2} - \frac{3 (u)}{2} - 1 = 0$

Passaggio 6

Moltiplica per il minimo comune denominatore $2$ , quindi semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 u^{2} + 2 (- \frac{3 u}{2}) + 2 \cdot - 1 = 0$

Passaggio 6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3 u}{2}$ nel numeratore.

$2 u^{2} + 2 \frac{- 3 u}{2} + 2 \cdot - 1 = 0$

Passaggio 6.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$2 u^{2} + 2 \frac{- 3 u}{2} + 2 \cdot - 1 = 0$

Passaggio 6.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$2 u^{2} - 3 u + 2 \cdot - 1 = 0$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 u^{2} - 3 u - 2 = 0$

Passaggio 7

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 8

Sostituisci i valori $a = 2$ , $b = - 3$ e $c = - 2$ nella formula quadratica e risolvi per $u$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 9.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $- 2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 9.1.3

Somma $9$ e $16$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 9.1.4

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5^{2}}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 9.1.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$u = \frac{3 \pm 5}{2 \cdot 2}$

Passaggio 9.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$u = \frac{3 \pm 5}{4}$

Passaggio 10

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 10.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 10.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $- 2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 10.1.3

Somma $9$ e $16$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 10.1.4

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5^{2}}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 10.1.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$u = \frac{3 \pm 5}{2 \cdot 2}$

Passaggio 10.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$u = \frac{3 \pm 5}{4}$

Passaggio 10.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$u = \frac{3 + 5}{4}$

Passaggio 10.4

Somma $3$ e $5$ .

$u = \frac{8}{4}$

Passaggio 10.5

Dividi $8$ per $4$ .

$u = 2$

Passaggio 11

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 11.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 11.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $- 2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 11.1.3

Somma $9$ e $16$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 11.1.4

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5^{2}}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 11.1.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$u = \frac{3 \pm 5}{2 \cdot 2}$

Passaggio 11.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$u = \frac{3 \pm 5}{4}$

Passaggio 11.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$u = \frac{3 - 5}{4}$

Passaggio 11.4

Sottrai $5$ da $3$ .

$u = \frac{- 2}{4}$

Passaggio 11.5

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$u = \frac{2 (- 1)}{4}$

Passaggio 11.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$u = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 11.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$u = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 11.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$u = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 11.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$u = - \frac{1}{2}$

Passaggio 12

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$u = 2, - \frac{1}{2}$

Passaggio 13

Sostituisci $u$ per $\sec (x)$ .

$\sec (x) = 2, - \frac{1}{2}$

Passaggio 14

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\sec (x) = 2$

$\sec (x) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 15

Risolvi per $x$ in $\sec (x) = 2$ .

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Passaggio 15.1

Calcola la secante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $x$ dall'interno della secante.

$x = arcsec (2)$

Passaggio 15.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 15.2.1

Il valore esatto di $arcsec (2)$ è $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Passaggio 15.3

La funzione secante è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Passaggio 15.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 15.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.1

$2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 15.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Passaggio 15.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.3.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Passaggio 15.4.3.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Passaggio 15.5

Trova il periodo di $\sec (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 15.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 15.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 15.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 15.6

Il periodo della funzione $\sec (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 16

Risolvi per $x$ in $\sec (x) = - \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

L'intervallo della secante è $y \leq - 1$ e $y \geq 1$ . Poiché $- \frac{1}{2}$ non rientra nell'intervallo, non esiste soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 17

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$