Precalcolo Esempi

$\tan^{2} (3 x) = \sqrt{1}$

Passaggio 1

Sottrai $\sqrt{1}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\tan^{2} (3 x) - \sqrt{1} = 0$

Passaggio 2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\tan^{2} (3 x) - 1 \cdot 1 = 0$

Passaggio 2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\tan^{2} (3 x) - 1 = 0$

Passaggio 3

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\tan^{2} (3 x) - 1^{2} = 0$

Passaggio 4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \tan (3 x)$ e $b = 1$ .

$(\tan (3 x) + 1) (\tan (3 x) - 1) = 0$

Passaggio 5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\tan (3 x) + 1 = 0$

$\tan (3 x) - 1 = 0$

Passaggio 6

Imposta $\tan (3 x) + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta $\tan (3 x) + 1$ uguale a $0$ .

$\tan (3 x) + 1 = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $\tan (3 x) + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\tan (3 x) = - 1$

Passaggio 6.2.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$3 x = \arctan (- 1)$

Passaggio 6.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Il valore esatto di $\arctan (- 1)$ è $- \frac{π}{4}$ .

$3 x = - \frac{π}{4}$

Passaggio 6.2.4

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - \frac{π}{4}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - \frac{π}{4}$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{4}}{3}$

Passaggio 6.2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{4}}{3}$

Passaggio 6.2.4.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{4}}{3}$

Passaggio 6.2.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = - \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 6.2.4.3.2

Moltiplica $- \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{3 \cdot 4}$

Passaggio 6.2.4.3.2.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$x = - \frac{π}{12}$

Passaggio 6.2.5

La funzione tangente è negativa nel secondo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$3 x = - \frac{π}{4} - π$

Passaggio 6.2.6

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.6.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$3 x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Passaggio 6.2.6.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{4}$ è positivo e coterminale con $- \frac{π}{4} - π$ .

$3 x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 6.2.6.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = \frac{3 π}{4}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.6.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = \frac{3 π}{4}$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Passaggio 6.2.6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.6.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.6.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Passaggio 6.2.6.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Passaggio 6.2.6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.6.3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 6.2.6.3.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.6.3.3.2.1

Scomponi $3$ da $3 π$ .

$x = \frac{3 (π)}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 6.2.6.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 6.2.6.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 6.2.7

Trova il periodo di $\tan (3 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 6.2.7.2

Sostituisci $b$ con $3$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 3 |}$

Passaggio 6.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $3$ è $3$ .

$\frac{π}{3}$

Passaggio 6.2.8

Somma $\frac{π}{3}$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.8.1

Somma $\frac{π}{3}$ a $- \frac{π}{12}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{12} + \frac{π}{3}$

Passaggio 6.2.8.2

Per scrivere $\frac{π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{12}$

Passaggio 6.2.8.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $12$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.8.3.1

Moltiplica $\frac{π}{3}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{π}{12}$

Passaggio 6.2.8.3.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π}{12}$

Passaggio 6.2.8.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π \cdot 4 - π}{12}$

Passaggio 6.2.8.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.8.5.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{12}$

Passaggio 6.2.8.5.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$\frac{3 π}{12}$

Passaggio 6.2.8.6

Elimina il fattore comune di $3$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.8.6.1

Scomponi $3$ da $3 π$ .

$\frac{3 (π)}{12}$

Passaggio 6.2.8.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.8.6.2.1

Scomponi $3$ da $12$ .

$\frac{3 π}{3 \cdot 4}$

Passaggio 6.2.8.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 π}{3 \cdot 4}$

Passaggio 6.2.8.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π}{4}$

Passaggio 6.2.8.7

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 6.2.9

Il periodo della funzione $\tan (3 x)$ è $\frac{π}{3}$ , quindi i valori si ripetono ogni $\frac{π}{3}$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{3}, \frac{π}{4} + \frac{π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7

Imposta $\tan (3 x) - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta $\tan (3 x) - 1$ uguale a $0$ .

$\tan (3 x) - 1 = 0$

Passaggio 7.2

Risolvi $\tan (3 x) - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\tan (3 x) = 1$

Passaggio 7.2.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$3 x = \arctan (1)$

Passaggio 7.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Il valore esatto di $\arctan (1)$ è $\frac{π}{4}$ .

$3 x = \frac{π}{4}$

Passaggio 7.2.4

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = \frac{π}{4}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = \frac{π}{4}$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Passaggio 7.2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Passaggio 7.2.4.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Passaggio 7.2.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 7.2.4.3.2

Moltiplica $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.3.2.1

Moltiplica $\frac{π}{4}$ per $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 3}$

Passaggio 7.2.4.3.2.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$x = \frac{π}{12}$

Passaggio 7.2.5

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$3 x = π + \frac{π}{4}$

Passaggio 7.2.6

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.6.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.6.1.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$3 x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 7.2.6.1.2

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 7.2.6.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Passaggio 7.2.6.1.4

Somma $π \cdot 4$ e $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.6.1.4.1

Riordina $π$ e $4$ .

$3 x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Passaggio 7.2.6.1.4.2

Somma $4 \cdot π$ e $π$ .

$3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$

Passaggio 7.2.6.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.6.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

Passaggio 7.2.6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.6.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.6.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

Passaggio 7.2.6.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

Passaggio 7.2.6.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.6.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 7.2.6.2.3.2

Moltiplica $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.6.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{5 π}{4}$ per $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 3}$

Passaggio 7.2.6.2.3.2.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Passaggio 7.2.7

Trova il periodo di $\tan (3 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 7.2.7.2

Sostituisci $b$ con $3$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 3 |}$

Passaggio 7.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $3$ è $3$ .

$\frac{π}{3}$

Passaggio 7.2.8

Il periodo della funzione $\tan (3 x)$ è $\frac{π}{3}$ , quindi i valori si ripetono ogni $\frac{π}{3}$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{3}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(\tan (3 x) + 1) (\tan (3 x) - 1) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{3}, \frac{π}{12} + \frac{π n}{3}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{6}$ , per qualsiasi intero $n$