Precalcolo Esempi

$\log_{5} (x + 4) + \log_{5} (x - 4) = 2$

Passaggio 1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\log_{5} (x + 4) + \log_{5} (x - 4) - 2 = 0$

Passaggio 2

Semplifica $\log_{5} (x + 4) + \log_{5} (x - 4) - 2$ .

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Passaggio 2.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} ((x + 4) (x - 4)) - 2 = 0$

Passaggio 2.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1

Espandi $(x + 4) (x - 4)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{5} (x (x - 4) + 4 (x - 4)) - 2 = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x - 4)) - 2 = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4) - 2 = 0$

Passaggio 2.2.2

Combina i termini opposti in $x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Riordina i fattori nei termini di $x \cdot - 4$ e $4 x$ .

$\log_{5} (x \cdot x - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4) - 2 = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Somma $- 4 x$ e $4 x$ .

$\log_{5} (x \cdot x + 0 + 4 \cdot - 4) - 2 = 0$

Passaggio 2.2.2.3

Somma $x \cdot x$ e $0$ .

$\log_{5} (x \cdot x + 4 \cdot - 4) - 2 = 0$

Passaggio 2.2.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.3.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\log_{5} (x^{2} + 4 \cdot - 4) - 2 = 0$

Passaggio 2.2.3.2

Moltiplica $4$ per $- 4$ .

$\log_{5} (x^{2} - 16) - 2 = 0$

Passaggio 3

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\log_{5} (x^{2} - 16) = 2$

Passaggio 4

Riscrivi $\log_{5} (x^{2} - 16) = 2$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{2} = x^{2} - 16$

Passaggio 5

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $x^{2} - 16 = 5^{2}$ .

$x^{2} - 16 = 5^{2}$

Passaggio 5.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$x^{2} - 16 = 25$

Passaggio 5.3

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.3.1

Somma $16$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 25 + 16$

Passaggio 5.3.2

Somma $25$ e $16$ .

$x^{2} = 41$

Passaggio 5.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{41}$

Passaggio 5.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 5.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{41}$

Passaggio 5.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{41}$

Passaggio 5.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{41}, - \sqrt{41}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \sqrt{41}, - \sqrt{41}$

Forma decimale:

$x = 6.40312423 \dots, - 6.40312423 \dots$