Precalcolo Esempi

$4^{x} + 2^{x + 1} - 63 = 0$

Passaggio 1

Riscrivi $2^{x + 1}$ come $2^{x} \cdot 2^{1}$ .

$4^{x} + 2^{x} \cdot 2 - 63 = 0$

Passaggio 2

Riscrivi $4^{x}$ come ${(2^{2})}^{x}$ .

${(2^{2})}^{x} + 2^{x} \cdot 2 - 63 = 0$

Passaggio 3

Riscrivi ${(2^{2})}^{x}$ come ${(2^{x})}^{2}$ .

${(2^{x})}^{2} + 2^{x} \cdot 2 - 63 = 0$

Passaggio 4

Sia $u = 2^{x}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $2^{x}$ con $u$ .

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Passaggio 4.1

Calcola l'esponente.

$u^{2} + u \cdot 2 - 63 = 0$

Passaggio 4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$u^{2} + 2 u - 63 = 0$

Passaggio 5

Scomponi $u^{2} + 2 u - 63$ usando il metodo AC.

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Passaggio 5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 63$ e la cui somma è $2$ .

$- 7, 9$

Passaggio 5.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(u - 7) (u + 9) = 0$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2^{x}$ .

$(2^{x} - 7) (2^{x} + 9) = 0$

Passaggio 7

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2^{x} - 7 = 0$

$2^{x} + 9 = 0$

Passaggio 8

Imposta $2^{x} - 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 8.1

Imposta $2^{x} - 7$ uguale a $0$ .

$2^{x} - 7 = 0$

Passaggio 8.2

Risolvi $2^{x} - 7 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 8.2.1

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2^{x} = 7$

Passaggio 8.2.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (2^{x}) = \ln (7)$

Passaggio 8.2.3

Espandi $\ln (2^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (2) = \ln (7)$

Passaggio 8.2.4

Dividi per $\ln (2)$ ciascun termine in $x \ln (2) = \ln (7)$ e semplifica.

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Passaggio 8.2.4.1

Dividi per $\ln (2)$ ciascun termine in $x \ln (2) = \ln (7)$ .

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (7)}{\ln (2)}$

Passaggio 8.2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (2)$ .

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Passaggio 8.2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (7)}{\ln (2)}$

Passaggio 8.2.4.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\ln (7)}{\ln (2)}$

Passaggio 9

Imposta $2^{x} + 9$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 9.1

Imposta $2^{x} + 9$ uguale a $0$ .

$2^{x} + 9 = 0$

Passaggio 9.2

Risolvi $2^{x} + 9 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 9.2.1

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2^{x} = - 9$

Passaggio 9.2.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (2^{x}) = \ln (- 9)$

Passaggio 9.2.3

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (- 9)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 9.2.4

Non c'è soluzione per $2^{x} = - 9$

Nessuna soluzione

Passaggio 10

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2^{x} - 7) (2^{x} + 9) = 0$ vera.

$x = \frac{\ln (7)}{\ln (2)}$