Precalcolo Esempi

$3 x^{\frac{2}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}} - 4 = 0$

Passaggio 1

Riscrivi $x^{\frac{2}{3}}$ come ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

$3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} + 4 x^{\frac{1}{3}} - 4 = 0$

Passaggio 2

Sia $u = x^{\frac{1}{3}}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{\frac{1}{3}}$ con $u$ .

$3 u^{2} + 4 u - 4 = 0$

Passaggio 3

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ e la cui somma è $b = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $4$ da $4 u$ .

$3 u^{2} + 4 (u) - 4 = 0$

Passaggio 3.1.2

Riscrivi $4$ come $- 2$ più $6$ .

$3 u^{2} + (- 2 + 6) u - 4 = 0$

Passaggio 3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 u^{2} - 2 u + 6 u - 4 = 0$

Passaggio 3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(3 u^{2} - 2 u) + 6 u - 4 = 0$

Passaggio 3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$u (3 u - 2) + 2 (3 u - 2) = 0$

Passaggio 3.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 u - 2$ .

$(3 u - 2) (u + 2) = 0$

Passaggio 4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{1}{3}}$ .

$(3 x^{\frac{1}{3}} - 2) (x^{\frac{1}{3}} + 2) = 0$

Passaggio 5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 x^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$

$x^{\frac{1}{3}} + 2 = 0$

Passaggio 6

Imposta $3 x^{\frac{1}{3}} - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta $3 x^{\frac{1}{3}} - 2$ uguale a $0$ .

$3 x^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $3 x^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{\frac{1}{3}} = 2$

Passaggio 6.2.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $3$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 2^{3}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1.1

Semplifica ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 2^{3}$

Passaggio 6.2.3.1.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 2^{3}$

Passaggio 6.2.3.1.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1.1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Passaggio 6.2.3.1.1.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Passaggio 6.2.3.1.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$27 x^{1} = 2^{3}$

Passaggio 6.2.3.1.1.4

Semplifica.

$27 x = 2^{3}$

Passaggio 6.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$27 x = 8$

Passaggio 6.2.4

Dividi per $27$ ciascun termine in $27 x = 8$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Dividi per $27$ ciascun termine in $27 x = 8$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{8}{27}$

Passaggio 6.2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{27 x}{27} = \frac{8}{27}$

Passaggio 6.2.4.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{8}{27}$

Passaggio 7

Imposta $x^{\frac{1}{3}} + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta $x^{\frac{1}{3}} + 2$ uguale a $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} + 2 = 0$

Passaggio 7.2

Risolvi $x^{\frac{1}{3}} + 2 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{\frac{1}{3}} = - 2$

Passaggio 7.2.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $3$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 2)}^{3}$

Passaggio 7.2.3

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 2)}^{3}$

Passaggio 7.2.3.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 2)}^{3}$

Passaggio 7.2.3.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = {(- 2)}^{3}$

Passaggio 7.2.3.1.1.2

Semplifica.

$x = {(- 2)}^{3}$

Passaggio 7.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$x = - 8$

Passaggio 8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(3 x^{\frac{1}{3}} - 2) (x^{\frac{1}{3}} + 2) = 0$ vera.

$x = \frac{8}{27}, - 8$