Precalcolo Esempi

$x^{3} + 9 x^{2} + 14 x - 24 = (x + 6)$

Passaggio 1

Sottrai $(x + 6)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} + 9 x^{2} + 14 x - 24 - (x + 6) = 0$

Passaggio 2

Semplifica $x^{3} + 9 x^{2} + 14 x - 24 - (x + 6)$ .

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Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{3} + 9 x^{2} + 14 x - 24 - x - 1 \cdot 6 = 0$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$x^{3} + 9 x^{2} + 14 x - 24 - x - 6 = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $x$ da $14 x$ .

$x^{3} + 9 x^{2} + 13 x - 24 - 6 = 0$

Passaggio 2.3

Sottrai $6$ da $- 24$ .

$x^{3} + 9 x^{2} + 13 x - 30 = 0$

Passaggio 3

Scomponi $x^{3} + 9 x^{2} + 13 x - 30$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 3.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

$q = \pm 1$

Passaggio 3.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

Passaggio 3.3

Sostituisci $- 6$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 6$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 3.3.1

Sostituisci $- 6$ nel polinomio.

${(- 6)}^{3} + 9 {(- 6)}^{2} + 13 \cdot - 6 - 30$

Passaggio 3.3.2

Eleva $- 6$ alla potenza di $3$ .

$- 216 + 9 {(- 6)}^{2} + 13 \cdot - 6 - 30$

Passaggio 3.3.3

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$- 216 + 9 \cdot 36 + 13 \cdot - 6 - 30$

Passaggio 3.3.4

Moltiplica $9$ per $36$ .

$- 216 + 324 + 13 \cdot - 6 - 30$

Passaggio 3.3.5

Somma $- 216$ e $324$ .

$108 + 13 \cdot - 6 - 30$

Passaggio 3.3.6

Moltiplica $13$ per $- 6$ .

$108 - 78 - 30$

Passaggio 3.3.7

Sottrai $78$ da $108$ .

$30 - 30$

Passaggio 3.3.8

Sottrai $30$ da $30$ .

$0$

Passaggio 3.4

Poiché $- 6$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 6$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 13 x - 30}{x + 6}$

Passaggio 3.5

Dividi $x^{3} + 9 x^{2} + 13 x - 30$ per $x + 6$ .

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Passaggio 3.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$6$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$13 x$

$30$

Passaggio 3.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$13 x$	-	$30$

Passaggio 3.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$13 x$	-	$30$
			+	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Passaggio 3.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + 6 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$13 x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Passaggio 3.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$13 x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

Passaggio 3.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$13 x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$13 x$

Passaggio 3.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $3 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$13 x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$13 x$

Passaggio 3.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$13 x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$13 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$18 x$

Passaggio 3.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $3 x^{2} + 18 x$

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$13 x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$18 x$

Passaggio 3.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$13 x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$18 x$
							-	$5 x$

Passaggio 3.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$13 x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$18 x$
							-	$5 x$	-	$30$

Passaggio 3.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 5 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$5$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$13 x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$18 x$
							-	$5 x$	-	$30$

Passaggio 3.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$5$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$13 x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$18 x$
							-	$5 x$	-	$30$
							-	$5 x$	-	$30$

Passaggio 3.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 5 x - 30$

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$5$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$13 x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$18 x$
							-	$5 x$	-	$30$
							+	$5 x$	+	$30$

Passaggio 3.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$5$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$13 x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$18 x$
							-	$5 x$	-	$30$
							+	$5 x$	+	$30$
										$0$

Passaggio 3.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} + 3 x - 5$

Passaggio 3.6

Scrivi $x^{3} + 9 x^{2} + 13 x - 30$ come insieme di fattori.

$(x + 6) (x^{2} + 3 x - 5) = 0$

Passaggio 4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 6 = 0$

$x^{2} + 3 x - 5 = 0$

Passaggio 5

Imposta $x + 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $x + 6$ uguale a $0$ .

$x + 6 = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 6$

Passaggio 6

Imposta $x^{2} + 3 x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta $x^{2} + 3 x - 5$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 3 x - 5 = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $x^{2} + 3 x - 5 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 6.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 6.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 3$ e $c = - 5$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica.

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Passaggio 6.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 5$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 20}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3.1.3

Somma $9$ e $20$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{29}}{2}$

Passaggio 6.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 5$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 20}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.4.1.3

Somma $9$ e $20$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{29}}{2}$

Passaggio 6.2.4.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 3 + \sqrt{29}}{2}$

Passaggio 6.2.4.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + \sqrt{29}}{2}$

Passaggio 6.2.4.5

Scomponi $- 1$ da $\sqrt{29}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \sqrt{29})}{2}$

Passaggio 6.2.4.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (3) - 1 (- \sqrt{29})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - \sqrt{29})}{2}$

Passaggio 6.2.4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{3 - \sqrt{29}}{2}$

Passaggio 6.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 5$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 20}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.5.1.3

Somma $9$ e $20$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{29}}{2}$

Passaggio 6.2.5.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 3 - \sqrt{29}}{2}$

Passaggio 6.2.5.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - \sqrt{29}}{2}$

Passaggio 6.2.5.5

Scomponi $- 1$ da $- \sqrt{29}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (\sqrt{29})}{2}$

Passaggio 6.2.5.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (3) - (\sqrt{29})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + \sqrt{29})}{2}$

Passaggio 6.2.5.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{3 + \sqrt{29}}{2}$

Passaggio 6.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{3 - \sqrt{29}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{29}}{2}$

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 6) (x^{2} + 3 x - 5) = 0$ vera.

$x = - 6, - \frac{3 - \sqrt{29}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{29}}{2}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = - 6, - \frac{3 - \sqrt{29}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{29}}{2}$

Forma decimale:

$x = - 6, 1.19258240 \dots, - 4.19258240 \dots$