Precalcolo Esempi

$x^{6} - 6 x^{3} - 7 = 0$

Passaggio 1

Riscrivi $x^{6}$ come ${(x^{3})}^{2}$ .

${(x^{3})}^{2} - 6 x^{3} - 7 = 0$

Passaggio 2

Sia $u = x^{3}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{3}$ con $u$ .

$u^{2} - 6 u - 7 = 0$

Passaggio 3

Scomponi $u^{2} - 6 u - 7$ usando il metodo AC.

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Passaggio 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 7$ e la cui somma è $- 6$ .

$- 7, 1$

Passaggio 3.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(u - 7) (u + 1) = 0$

Passaggio 4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3}$ .

$(x^{3} - 7) (x^{3} + 1) = 0$

Passaggio 5

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$(x^{3} - 7) (x^{3} + 1^{3}) = 0$

Passaggio 6

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della somma di cubi, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$(x^{3} - 7) ((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Passaggio 7

Scomponi.

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Passaggio 7.1

Semplifica.

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Passaggio 7.1.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$(x^{3} - 7) ((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})) = 0$

Passaggio 7.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$(x^{3} - 7) ((x + 1) (x^{2} - x + 1)) = 0$

Passaggio 7.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x^{3} - 7) (x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$

Passaggio 8

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{3} - 7 = 0$

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

Passaggio 9

Imposta $x^{3} - 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 9.1

Imposta $x^{3} - 7$ uguale a $0$ .

$x^{3} - 7 = 0$

Passaggio 9.2

Risolvi $x^{3} - 7 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 9.2.1

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} = 7$

Passaggio 9.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{7}$

Passaggio 10

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 10.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 10.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 11

Imposta $x^{2} - x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 11.1

Imposta $x^{2} - x + 1$ uguale a $0$ .

$x^{2} - x + 1 = 0$

Passaggio 11.2

Risolvi $x^{2} - x + 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 11.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 11.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 1$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 11.2.3

Semplifica.

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Passaggio 11.2.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 11.2.3.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 11.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Passaggio 11.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 11.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 11.2.3.1.3

Sottrai $4$ da $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 11.2.3.1.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 11.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 11.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 11.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 11.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

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Passaggio 11.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.4.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 11.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 11.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 11.2.4.1.3

Sottrai $4$ da $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 11.2.4.1.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 11.2.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 11.2.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 11.2.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 11.2.4.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 11.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

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Passaggio 11.2.5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 11.2.5.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 11.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 11.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 11.2.5.1.3

Sottrai $4$ da $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 11.2.5.1.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 11.2.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 11.2.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 11.2.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 11.2.5.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 11.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 12

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x^{3} - 7) (x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$ vera.

$x = \sqrt[3]{7}, - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$