Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{2 x^{3} - 3 x + 1}{x^{3} - 5 x + 7}$

Passaggio 1

Trova le intercette di x.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per trovare l'intercetta di x, sostituisci $y$ con $0$ e risolvi per $x$ .

$0 = \frac{2 x^{3} - 3 x + 1}{x^{3} - 5 x + 7}$

Passaggio 1.2

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 x^{3} - 3 x + 1 = 0$

Passaggio 1.2.2

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $2 x^{3} - 3 x + 1$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2$

Passaggio 1.2.2.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.5$

Passaggio 1.2.2.1.3

Sostituisci $1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $1$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.3.1

Sostituisci $1$ nel polinomio.

$2 \cdot 1^{3} - 3 \cdot 1 + 1$

Passaggio 1.2.2.1.3.2

Eleva $1$ alla potenza di $3$ .

$2 \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 1$

Passaggio 1.2.2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 - 3 \cdot 1 + 1$

Passaggio 1.2.2.1.3.4

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$2 - 3 + 1$

Passaggio 1.2.2.1.3.5

Sottrai $3$ da $2$ .

$- 1 + 1$

Passaggio 1.2.2.1.3.6

Somma $- 1$ e $1$ .

$0$

Passaggio 1.2.2.1.4

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{2 x^{3} - 3 x + 1}{x - 1}$

Passaggio 1.2.2.1.5

Dividi $2 x^{3} - 3 x + 1$ per $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$1$

Passaggio 1.2.2.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$

Passaggio 1.2.2.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Passaggio 1.2.2.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x^{3} - 2 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Passaggio 1.2.2.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Passaggio 1.2.2.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$

Passaggio 1.2.2.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$

Passaggio 1.2.2.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Passaggio 1.2.2.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x^{2} - 2 x$

				$2 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Passaggio 1.2.2.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$

Passaggio 1.2.2.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$2 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	+	$1$

Passaggio 1.2.2.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	+	$1$

Passaggio 1.2.2.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	+	$1$
							-	$x$	+	$1$

Passaggio 1.2.2.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x + 1$

				$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	+	$1$
							+	$x$	-	$1$

Passaggio 1.2.2.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	+	$1$
							+	$x$	-	$1$
										$0$

Passaggio 1.2.2.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$2 x^{2} + 2 x - 1$

Passaggio 1.2.2.1.6

Scrivi $2 x^{3} - 3 x + 1$ come insieme di fattori.

$(x - 1) (2 x^{2} + 2 x - 1) = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

$2 x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Passaggio 1.2.2.3

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 1.2.2.3.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 1.2.2.4

Imposta $2 x^{2} + 2 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.4.1

Imposta $2 x^{2} + 2 x - 1$ uguale a $0$ .

$2 x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Passaggio 1.2.2.4.2

Risolvi $2 x^{2} + 2 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.4.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 1.2.2.4.2.2

Sostituisci i valori $a = 2$ , $b = 2$ e $c = - 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.2.4.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.4.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.4.2.3.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.2.4.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.4.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.2.4.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.2.4.2.3.1.3

Somma $4$ e $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.2.4.2.3.1.4

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.4.2.3.1.4.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.2.4.2.3.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.2.4.2.3.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.2.4.2.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 1.2.2.4.2.3.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.2.4.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.4.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.4.2.4.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.2.4.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.4.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.2.4.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.2.4.2.4.1.3

Somma $4$ e $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.2.4.2.4.1.4

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.4.2.4.1.4.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.2.4.2.4.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.2.4.2.4.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.2.4.2.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 1.2.2.4.2.4.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.2.4.2.4.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.2.4.2.4.5

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.2.4.2.4.6

Scomponi $- 1$ da $\sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 1.2.2.4.2.4.7

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 1.2.2.4.2.4.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.2.4.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.4.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.4.2.5.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.2.4.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.4.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.2.4.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.2.4.2.5.1.3

Somma $4$ e $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.2.4.2.5.1.4

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.4.2.5.1.4.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.2.4.2.5.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.2.4.2.5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.2.4.2.5.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 1.2.2.4.2.5.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.2.4.2.5.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.2.4.2.5.5

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.2.4.2.5.6

Scomponi $- 1$ da $- \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{3})}{2}$

Passaggio 1.2.2.4.2.5.7

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (\sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 1.2.2.4.2.5.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.2.4.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 1) (2 x^{2} + 2 x - 1) = 0$ vera.

$x = 1, - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.3

intercetta(e) di x in forma punto.

Intercetta(e) di x: $(1, 0), (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}, 0), (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, 0)$

Passaggio 2

Trova le intercette di y.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per trovare l'intercetta di y, sostituisci $x$ con $0$ e risolvi per $y$ .

$y = \frac{2 {(0)}^{3} - 3 \cdot 0 + 1}{{(0)}^{3} - 5 \cdot 0 + 7}$

Passaggio 2.2

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \frac{2 \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0 + 1}{{(0)}^{3} - 5 \cdot 0 + 7}$

Passaggio 2.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = \frac{2 \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0 + 1}{0^{3} - 5 \cdot 0 + 7}$

Passaggio 2.2.3

Rimuovi le parentesi.

$y = \frac{2 {(0)}^{3} - 3 \cdot 0 + 1}{{(0)}^{3} - 5 \cdot 0 + 7}$

Passaggio 2.2.4

Semplifica $\frac{2 {(0)}^{3} - 3 \cdot 0 + 1}{{(0)}^{3} - 5 \cdot 0 + 7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$y = \frac{2 \cdot 0 - 3 \cdot 0 + 1}{0^{3} - 5 \cdot 0 + 7}$

Passaggio 2.2.4.1.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$y = \frac{0 - 3 \cdot 0 + 1}{0^{3} - 5 \cdot 0 + 7}$

Passaggio 2.2.4.1.3

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$y = \frac{0 + 0 + 1}{0^{3} - 5 \cdot 0 + 7}$

Passaggio 2.2.4.1.4

Somma $0$ e $0$ .

$y = \frac{0 + 1}{0^{3} - 5 \cdot 0 + 7}$

Passaggio 2.2.4.1.5

Somma $0$ e $1$ .

$y = \frac{1}{0^{3} - 5 \cdot 0 + 7}$

Passaggio 2.2.4.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$y = \frac{1}{0 - 5 \cdot 0 + 7}$

Passaggio 2.2.4.2.2

Moltiplica $- 5$ per $0$ .

$y = \frac{1}{0 + 0 + 7}$

Passaggio 2.2.4.2.3

Somma $0$ e $0$ .

$y = \frac{1}{0 + 7}$

Passaggio 2.2.4.2.4

Somma $0$ e $7$ .

$y = \frac{1}{7}$

Passaggio 2.3

intercetta(e) di y in forma punto.

Intercetta(e) di y: $(0, \frac{1}{7})$

Passaggio 3

Elenca le intersezioni.

Intercetta(e) di x: $(1, 0), (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}, 0), (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, 0)$

Intercetta(e) di y: $(0, \frac{1}{7})$

Passaggio 4