Precalcolo Esempi

${(4^{x})}^{2} - 65 \cdot 4^{x} + 64 = 0$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(4^{x})}^{2}$ .

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Passaggio 1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4^{x \cdot 2} - 65 \cdot 4^{x} + 64 = 0$

Passaggio 1.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$4^{2 x} - 65 \cdot 4^{x} + 64 = 0$

Passaggio 2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $4^{2 x}$ come ${(4^{x})}^{2}$ .

${(4^{x})}^{2} - 65 \cdot 4^{x} + 64 = 0$

Passaggio 2.2

Sia $u = 4^{x}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $4^{x}$ con $u$ .

$u^{2} - 65 u + 64 = 0$

Passaggio 2.3

Scomponi $u^{2} - 65 u + 64$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $64$ e la cui somma è $- 65$ .

$- 64, - 1$

Passaggio 2.3.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(u - 64) (u - 1) = 0$

Passaggio 2.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4^{x}$ .

$(4^{x} - 64) (4^{x} - 1) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$4^{x} - 64 = 0$

$4^{x} - 1 = 0$

Passaggio 4

Imposta $4^{x} - 64$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $4^{x} - 64$ uguale a $0$ .

$4^{x} - 64 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $4^{x} - 64 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Somma $64$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4^{x} = 64$

Passaggio 4.2.2

Crea nell'equazione espressioni equivalenti che hanno tutte basi uguali.

$4^{x} = 4^{3}$

Passaggio 4.2.3

Poiché le basi sono uguali, allora due espressioni sono uguali solo se anche gli esponenti sono uguali.

$x = 3$

Passaggio 5

Imposta $4^{x} - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $4^{x} - 1$ uguale a $0$ .

$4^{x} - 1 = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $4^{x} - 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 5.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4^{x} = 1$

Passaggio 5.2.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (4^{x}) = \ln (1)$

Passaggio 5.2.3

Espandi $\ln (4^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (4) = \ln (1)$

Passaggio 5.2.4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.4.1

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$x \ln (4) = 0$

Passaggio 5.2.5

Dividi per $\ln (4)$ ciascun termine in $x \ln (4) = 0$ e semplifica.

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Passaggio 5.2.5.1

Dividi per $\ln (4)$ ciascun termine in $x \ln (4) = 0$ .

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{0}{\ln (4)}$

Passaggio 5.2.5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.5.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (4)$ .

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Passaggio 5.2.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{0}{\ln (4)}$

Passaggio 5.2.5.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{\ln (4)}$

Passaggio 5.2.5.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.5.3.1

Riscrivi $\ln (4)$ come $\ln (2^{2})$ .

$x = \frac{0}{\ln (2^{2})}$

Passaggio 5.2.5.3.2

Espandi $\ln (2^{2})$ spostando $2$ fuori dal logaritmo.

$x = \frac{0}{2 \ln (2)}$

Passaggio 5.2.5.3.3

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

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Passaggio 5.2.5.3.3.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$x = \frac{2 (0)}{2 \ln (2)}$

Passaggio 5.2.5.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.2.5.3.3.2.1

Scomponi $2$ da $2 \ln (2)$ .

$x = \frac{2 (0)}{2 (\ln (2))}$

Passaggio 5.2.5.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2 \cdot 0}{2 \ln (2)}$

Passaggio 5.2.5.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{0}{\ln (2)}$

Passaggio 5.2.5.3.4

Dividi $0$ per $\ln (2)$ .

$x = 0$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(4^{x} - 64) (4^{x} - 1) = 0$ vera.

$x = 3, 0$