Precalcolo Esempi

$9 x^{4} - 9 x^{3} - 58 x^{2} + 4 x + 24$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$

$q = \pm 1, \pm 3, \pm 9$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{9}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{2}{9}, \pm 3, \pm 4, \pm \frac{4}{3}, \pm \frac{4}{9}, \pm 6, \pm 8, \pm \frac{8}{3}, \pm \frac{8}{9}, \pm 12, \pm 24$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

$9 {(- 2)}^{4} - 9 {(- 2)}^{3} - 58 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 24$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = - 2$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $4$ .

$9 \cdot 16 - 9 {(- 2)}^{3} - 58 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 24$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $9$ per $16$ .

$144 - 9 {(- 2)}^{3} - 58 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 24$

Passaggio 4.1.3

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$144 - 9 \cdot - 8 - 58 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 24$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $- 9$ per $- 8$ .

$144 + 72 - 58 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 24$

Passaggio 4.1.5

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$144 + 72 - 58 \cdot 4 + 4 (- 2) + 24$

Passaggio 4.1.6

Moltiplica $- 58$ per $4$ .

$144 + 72 - 232 + 4 (- 2) + 24$

Passaggio 4.1.7

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$144 + 72 - 232 - 8 + 24$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 4.2.1

Somma $144$ e $72$ .

$216 - 232 - 8 + 24$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $232$ da $216$ .

$- 16 - 8 + 24$

Passaggio 4.2.3

Sottrai $8$ da $- 16$ .

$- 24 + 24$

Passaggio 4.2.4

Somma $- 24$ e $24$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $- 2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{9 x^{4} - 9 x^{3} - 58 x^{2} + 4 x + 24}{x + 2}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(9)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$

	$9$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(9)$ per il divisore $(- 2)$ e posiziona il risultato di $(- 18)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 9)$ .

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$
	$9$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$
	$9$	$- 27$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 27)$ per il divisore $(- 2)$ e posiziona il risultato di $(54)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 58)$ .

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$	$54$
	$9$	$- 27$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$	$54$
	$9$	$- 27$	$- 4$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 4)$ per il divisore $(- 2)$ e posiziona il risultato di $(8)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(4)$ .

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$	$54$	$8$
	$9$	$- 27$	$- 4$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$	$54$	$8$
	$9$	$- 27$	$- 4$	$12$

Passaggio 6.9

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(12)$ per il divisore $(- 2)$ e posiziona il risultato di $(- 24)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(24)$ .

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$	$54$	$8$	$- 24$
	$9$	$- 27$	$- 4$	$12$

Passaggio 6.10

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$	$54$	$8$	$- 24$
	$9$	$- 27$	$- 4$	$12$	$0$

Passaggio 6.11

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$9 x^{3} + - 27 x^{2} + (- 4) x + 12$

Passaggio 6.12

Semplifica il polinomio quoziente.

$9 x^{3} - 27 x^{2} - 4 x + 12$

Passaggio 7

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 7.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x + 2) (9 x^{3} - 27 x^{2}) - 4 x + 12$

Passaggio 7.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x + 2) + 9 x^{2} (x - 3) - 4 (x - 3)$

$(x + 2) \cdot 9 x^{2} (x - 3) - 4 (x - 3)$

Passaggio 8

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x - 3$ .

$(x + 2) (x - 3) (9 x^{2} - 4)$

Passaggio 9

Riscrivi $9 x^{2}$ come ${(3 x)}^{2}$ .

$(x + 2) (x - 3) ({(3 x)}^{2} - 4)$

Passaggio 10

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$(x + 2) (x - 3) ({(3 x)}^{2} - 2^{2})$

Passaggio 11

Scomponi.

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Passaggio 11.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 3 x$ e $b = 2$ .

$(x + 2) + (x - 3) ((3 x + 2) (3 x - 2))$

Passaggio 11.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 2) + (x - 3) (3 x + 2) (3 x - 2)$

$(x + 2) (x - 3) (3 x + 2) (3 x - 2)$

Passaggio 12

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 12.1

Raggruppa i termini.

$- 9 x^{3} + 4 x + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Passaggio 12.2

Scomponi $- x$ da $- 9 x^{3} + 4 x$ .

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Passaggio 12.2.1

Scomponi $- x$ da $- 9 x^{3}$ .

$- x (9 x^{2}) + 4 x + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Passaggio 12.2.2

Scomponi $- x$ da $4 x$ .

$- x (9 x^{2}) - x \cdot - 4 + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Passaggio 12.2.3

Scomponi $- x$ da $- x (9 x^{2}) - x (- 4)$ .

$- x (9 x^{2} - 4) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Passaggio 12.3

Riscrivi $9 x^{2}$ come ${(3 x)}^{2}$ .

$- x ({(3 x)}^{2} - 4) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Passaggio 12.4

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$- x ({(3 x)}^{2} - 2^{2}) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Passaggio 12.5

Scomponi.

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Passaggio 12.5.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 3 x$ e $b = 2$ .

$- x ((3 x + 2) (3 x - 2)) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Passaggio 12.5.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Passaggio 12.6

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 {(x^{2})}^{2} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Passaggio 12.7

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 58 u + 24 = 0$

Passaggio 12.8

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 12.8.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 9 \cdot 24 = 216$ e la cui somma è $b = - 58$ .

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Passaggio 12.8.1.1

Scomponi $- 58$ da $- 58 u$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 58 u + 24 = 0$

Passaggio 12.8.1.2

Riscrivi $- 58$ come $- 4$ più $- 54$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} + (- 4 - 54) u + 24 = 0$

Passaggio 12.8.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 4 u - 54 u + 24 = 0$

Passaggio 12.8.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 12.8.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 4 u - 54 u + 24 = 0$

Passaggio 12.8.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + u (9 u - 4) - 6 (9 u - 4) = 0$

Passaggio 12.8.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $9 u - 4$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (9 u - 4) (u - 6) = 0$

Passaggio 12.9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (9 x^{2} - 4) (x^{2} - 6) = 0$

Passaggio 12.10

Riscrivi $9 x^{2}$ come ${(3 x)}^{2}$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + ({(3 x)}^{2} - 4) (x^{2} - 6) = 0$

Passaggio 12.11

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + ({(3 x)}^{2} - 2^{2}) (x^{2} - 6) = 0$

Passaggio 12.12

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 3 x$ e $b = 2$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6) = 0$

Passaggio 12.13

Scomponi $(3 x + 2) (3 x - 2)$ da $- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6)$ .

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Passaggio 12.13.1

Scomponi $(3 x + 2) (3 x - 2)$ da $- x (3 x + 2) (3 x - 2)$ .

$(3 x + 2) (3 x - 2) (- x) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6) = 0$

Passaggio 12.13.2

Scomponi $(3 x + 2) (3 x - 2)$ da $(3 x + 2) (3 x - 2) (- x) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6)$ .

$(3 x + 2) (3 x - 2) (- x + x^{2} - 6) = 0$

Passaggio 12.14

Sia $u = x$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ con $u$ .

$(3 x + 2) (3 x - 2) (- u + u^{2} - 6) = 0$

Passaggio 12.15

Scomponi $- u + u^{2} - 6$ usando il metodo AC.

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Passaggio 12.15.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 6$ e la cui somma è $- 1$ .

$- 3, 2$

Passaggio 12.15.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(3 x + 2) (3 x - 2) ((u - 3) (u + 2)) = 0$

Passaggio 12.16

Scomponi.

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Passaggio 12.16.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$(3 x + 2) (3 x - 2) ((x - 3) (x + 2)) = 0$

Passaggio 12.16.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(3 x + 2) (3 x - 2) (x - 3) (x + 2) = 0$

Passaggio 13

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$3 x - 2 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Passaggio 14

Imposta $3 x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Imposta $3 x + 2$ uguale a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Passaggio 14.2

Risolvi $3 x + 2 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = - 2$

Passaggio 14.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 2$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Passaggio 14.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Passaggio 14.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Passaggio 14.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{2}{3}$

Passaggio 15

Imposta $3 x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Imposta $3 x - 2$ uguale a $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Passaggio 15.2

Risolvi $3 x - 2 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 2$

Passaggio 15.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 2$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Passaggio 15.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Passaggio 15.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Passaggio 16

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 16.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 17

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 17.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 18

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(3 x + 2) (3 x - 2) (x - 3) (x + 2) = 0$ vera.

$x = - \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, 3, - 2$

Passaggio 19