Precalcolo Esempi

$8 x^{4} - 14 x^{3} - 71 x^{2} - 10 x + 24$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{8}, \pm 2, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{3}{4}, \pm \frac{3}{8}, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

$8 {(\frac{1}{2})}^{4} - 14 {(\frac{1}{2})}^{3} - 71 {(\frac{1}{2})}^{2} - 10 (\frac{1}{2}) + 24$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = \frac{1}{2}$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$8 \frac{1^{4}}{2^{4}} - 14 {(\frac{1}{2})}^{3} - 71 {(\frac{1}{2})}^{2} - 10 (\frac{1}{2}) + 24$

Passaggio 4.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$8 \frac{1}{2^{4}} - 14 {(\frac{1}{2})}^{3} - 71 {(\frac{1}{2})}^{2} - 10 (\frac{1}{2}) + 24$

Passaggio 4.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$8 (\frac{1}{16}) - 14 {(\frac{1}{2})}^{3} - 71 {(\frac{1}{2})}^{2} - 10 (\frac{1}{2}) + 24$

Passaggio 4.1.4

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Scomponi $8$ da $16$ .

$8 \frac{1}{8 (2)} - 14 {(\frac{1}{2})}^{3} - 71 {(\frac{1}{2})}^{2} - 10 (\frac{1}{2}) + 24$

Passaggio 4.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$8 \frac{1}{8 \cdot 2} - 14 {(\frac{1}{2})}^{3} - 71 {(\frac{1}{2})}^{2} - 10 (\frac{1}{2}) + 24$

Passaggio 4.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} - 14 {(\frac{1}{2})}^{3} - 71 {(\frac{1}{2})}^{2} - 10 (\frac{1}{2}) + 24$

Passaggio 4.1.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} - 14 \frac{1^{3}}{2^{3}} - 71 {(\frac{1}{2})}^{2} - 10 (\frac{1}{2}) + 24$

Passaggio 4.1.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{2} - 14 \frac{1}{2^{3}} - 71 {(\frac{1}{2})}^{2} - 10 (\frac{1}{2}) + 24$

Passaggio 4.1.7

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{2} - 14 (\frac{1}{8}) - 71 {(\frac{1}{2})}^{2} - 10 (\frac{1}{2}) + 24$

Passaggio 4.1.8

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.8.1

Scomponi $2$ da $- 14$ .

$\frac{1}{2} + 2 (- 7) \frac{1}{8} - 71 {(\frac{1}{2})}^{2} - 10 (\frac{1}{2}) + 24$

Passaggio 4.1.8.2

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{1}{2} + 2 \cdot - 7 \frac{1}{2 \cdot 4} - 71 {(\frac{1}{2})}^{2} - 10 (\frac{1}{2}) + 24$

Passaggio 4.1.8.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} + 2 \cdot - 7 \frac{1}{2 \cdot 4} - 71 {(\frac{1}{2})}^{2} - 10 (\frac{1}{2}) + 24$

Passaggio 4.1.8.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} - 7 (\frac{1}{4}) - 71 {(\frac{1}{2})}^{2} - 10 (\frac{1}{2}) + 24$

Passaggio 4.1.9

$- 7$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 7}{4} - 71 {(\frac{1}{2})}^{2} - 10 (\frac{1}{2}) + 24$

Passaggio 4.1.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} - \frac{7}{4} - 71 {(\frac{1}{2})}^{2} - 10 (\frac{1}{2}) + 24$

Passaggio 4.1.11

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{7}{4} - 71 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 10 (\frac{1}{2}) + 24$

Passaggio 4.1.12

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{2} - \frac{7}{4} - 71 \frac{1}{2^{2}} - 10 (\frac{1}{2}) + 24$

Passaggio 4.1.13

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{2} - \frac{7}{4} - 71 (\frac{1}{4}) - 10 (\frac{1}{2}) + 24$

Passaggio 4.1.14

$- 71$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{7}{4} + \frac{- 71}{4} - 10 (\frac{1}{2}) + 24$

Passaggio 4.1.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} - \frac{7}{4} - \frac{71}{4} - 10 (\frac{1}{2}) + 24$

Passaggio 4.1.16

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.16.1

Scomponi $2$ da $- 10$ .

$\frac{1}{2} - \frac{7}{4} - \frac{71}{4} + 2 (- 5) \frac{1}{2} + 24$

Passaggio 4.1.16.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} - \frac{7}{4} - \frac{71}{4} + 2 \cdot - 5 \frac{1}{2} + 24$

Passaggio 4.1.16.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} - \frac{7}{4} - \frac{71}{4} - 5 + 24$

Passaggio 4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 5 + 24 + \frac{1}{2} + \frac{- 7 - 71}{4}$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $71$ da $- 7$ .

$- 5 + 24 + \frac{1}{2} + \frac{- 78}{4}$

Passaggio 4.3

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Scrivi $- 5$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{- 5}{1} + 24 + \frac{1}{2} + \frac{- 78}{4}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $\frac{- 5}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 5}{1} \cdot \frac{4}{4} + 24 + \frac{1}{2} + \frac{- 78}{4}$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica $\frac{- 5}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 5 \cdot 4}{4} + 24 + \frac{1}{2} + \frac{- 78}{4}$

Passaggio 4.3.4

Scrivi $24$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{- 5 \cdot 4}{4} + \frac{24}{1} + \frac{1}{2} + \frac{- 78}{4}$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica $\frac{24}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 5 \cdot 4}{4} + \frac{24}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{2} + \frac{- 78}{4}$

Passaggio 4.3.6

Moltiplica $\frac{24}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 5 \cdot 4}{4} + \frac{24 \cdot 4}{4} + \frac{1}{2} + \frac{- 78}{4}$

Passaggio 4.3.7

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 5 \cdot 4}{4} + \frac{24 \cdot 4}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{- 78}{4}$

Passaggio 4.3.8

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 5 \cdot 4}{4} + \frac{24 \cdot 4}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{- 78}{4}$

Passaggio 4.3.9

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{- 5 \cdot 4}{4} + \frac{24 \cdot 4}{4} + \frac{2}{4} + \frac{- 78}{4}$

Passaggio 4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 5 \cdot 4 + 24 \cdot 4 + 2 - 78}{4}$

Passaggio 4.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Moltiplica $- 5$ per $4$ .

$\frac{- 20 + 24 \cdot 4 + 2 - 78}{4}$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica $24$ per $4$ .

$\frac{- 20 + 96 + 2 - 78}{4}$

Passaggio 4.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Somma $- 20$ e $96$ .

$\frac{76 + 2 - 78}{4}$

Passaggio 4.6.2

Somma $76$ e $2$ .

$\frac{78 - 78}{4}$

Passaggio 4.6.3

Sottrai $78$ da $78$ .

$\frac{0}{4}$

Passaggio 4.6.4

Dividi $0$ per $4$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{2}$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - \frac{1}{2}$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{8 x^{4} - 14 x^{3} - 71 x^{2} - 10 x + 24}{x - \frac{1}{2}}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$\frac{1}{2}$	$8$	$- 14$	$- 71$	$- 10$	$24$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(8)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$\frac{1}{2}$	$8$	$- 14$	$- 71$	$- 10$	$24$

	$8$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(8)$ per il divisore $(\frac{1}{2})$ e posiziona il risultato di $(4)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 14)$ .

$\frac{1}{2}$	$8$	$- 14$	$- 71$	$- 10$	$24$
		$4$
	$8$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$\frac{1}{2}$	$8$	$- 14$	$- 71$	$- 10$	$24$
		$4$
	$8$	$- 10$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 10)$ per il divisore $(\frac{1}{2})$ e posiziona il risultato di $(- 5)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 71)$ .

$\frac{1}{2}$	$8$	$- 14$	$- 71$	$- 10$	$24$
		$4$	$- 5$
	$8$	$- 10$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$\frac{1}{2}$	$8$	$- 14$	$- 71$	$- 10$	$24$
		$4$	$- 5$
	$8$	$- 10$	$- 76$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 76)$ per il divisore $(\frac{1}{2})$ e posiziona il risultato di $(- 38)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 10)$ .

$\frac{1}{2}$	$8$	$- 14$	$- 71$	$- 10$	$24$
		$4$	$- 5$	$- 38$
	$8$	$- 10$	$- 76$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$\frac{1}{2}$	$8$	$- 14$	$- 71$	$- 10$	$24$
		$4$	$- 5$	$- 38$
	$8$	$- 10$	$- 76$	$- 48$

Passaggio 6.9

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 48)$ per il divisore $(\frac{1}{2})$ e posiziona il risultato di $(- 24)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(24)$ .

$\frac{1}{2}$	$8$	$- 14$	$- 71$	$- 10$	$24$
		$4$	$- 5$	$- 38$	$- 24$
	$8$	$- 10$	$- 76$	$- 48$

Passaggio 6.10

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$\frac{1}{2}$	$8$	$- 14$	$- 71$	$- 10$	$24$
		$4$	$- 5$	$- 38$	$- 24$
	$8$	$- 10$	$- 76$	$- 48$	$0$

Passaggio 6.11

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$8 x^{3} + - 10 x^{2} + (- 76) x - 48$

Passaggio 6.12

Semplifica il polinomio quoziente.

$8 x^{3} - 10 x^{2} - 76 x - 48$

Passaggio 7

Scomponi $2$ da $8 x^{3} - 10 x^{2} - 76 x - 48$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Scomponi $2$ da $8 x^{3}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (4 x^{3}) - 10 x^{2} - 76 x - 48)$

Passaggio 7.2

Scomponi $2$ da $- 10 x^{2}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (4 x^{3}) + 2 (- 5 x^{2}) - 76 x - 48)$

Passaggio 7.3

Scomponi $2$ da $- 76 x$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (4 x^{3}) + 2 (- 5 x^{2}) + 2 (- 38 x) - 48)$

Passaggio 7.4

Scomponi $2$ da $- 48$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (4 x^{3}) + 2 (- 5 x^{2}) + 2 (- 38 x) + 2 (- 24))$

Passaggio 7.5

Scomponi $2$ da $2 (4 x^{3}) + 2 (- 5 x^{2})$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (4 x^{3} - 5 x^{2}) + 2 (- 38 x) + 2 (- 24))$

Passaggio 7.6

Scomponi $2$ da $2 (4 x^{3} - 5 x^{2}) + 2 (- 38 x)$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (4 x^{3} - 5 x^{2} - 38 x) + 2 (- 24))$

Passaggio 7.7

Scomponi $2$ da $2 (4 x^{3} - 5 x^{2} - 38 x) + 2 (- 24)$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (4 x^{3} - 5 x^{2} - 38 x - 24))$

Passaggio 8

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Scomponi $8 x^{4} - 14 x^{3} - 71 x^{2} - 10 x + 24$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Passaggio 8.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.125, \pm 0.5, \pm 0.25, \pm 24, \pm 3, \pm 12, \pm 6, \pm 2, \pm 1.5, \pm 0.375, \pm 0.75, \pm 8, \pm 4$

Passaggio 8.1.3

Sostituisci $0.5$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $0.5$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.3.1

Sostituisci $0.5$ nel polinomio.

$8 \cdot {0.5}^{4} - 14 \cdot {0.5}^{3} - 71 \cdot {0.5}^{2} - 10 \cdot 0.5 + 24$

Passaggio 8.1.3.2

Eleva $0.5$ alla potenza di $4$ .

$8 \cdot 0.0625 - 14 \cdot {0.5}^{3} - 71 \cdot {0.5}^{2} - 10 \cdot 0.5 + 24$

Passaggio 8.1.3.3

Moltiplica $8$ per $0.0625$ .

$0.5 - 14 \cdot {0.5}^{3} - 71 \cdot {0.5}^{2} - 10 \cdot 0.5 + 24$

Passaggio 8.1.3.4

Eleva $0.5$ alla potenza di $3$ .

$0.5 - 14 \cdot 0.125 - 71 \cdot {0.5}^{2} - 10 \cdot 0.5 + 24$

Passaggio 8.1.3.5

Moltiplica $- 14$ per $0.125$ .

$0.5 - 1.75 - 71 \cdot {0.5}^{2} - 10 \cdot 0.5 + 24$

Passaggio 8.1.3.6

Sottrai $1.75$ da $0.5$ .

$- 1.25 - 71 \cdot {0.5}^{2} - 10 \cdot 0.5 + 24$

Passaggio 8.1.3.7

Eleva $0.5$ alla potenza di $2$ .

$- 1.25 - 71 \cdot 0.25 - 10 \cdot 0.5 + 24$

Passaggio 8.1.3.8

Moltiplica $- 71$ per $0.25$ .

$- 1.25 - 17.75 - 10 \cdot 0.5 + 24$

Passaggio 8.1.3.9

Sottrai $17.75$ da $- 1.25$ .

$- 19 - 10 \cdot 0.5 + 24$

Passaggio 8.1.3.10

Moltiplica $- 10$ per $0.5$ .

$- 19 - 5 + 24$

Passaggio 8.1.3.11

Sottrai $5$ da $- 19$ .

$- 24 + 24$

Passaggio 8.1.3.12

Somma $- 24$ e $24$ .

$0$

Passaggio 8.1.4

Poiché $0.5$ è una radice nota, dividi il polinomio per $2 x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{8 x^{4} - 14 x^{3} - 71 x^{2} - 10 x + 24}{2 x - 1}$

Passaggio 8.1.5

Dividi $8 x^{4} - 14 x^{3} - 71 x^{2} - 10 x + 24$ per $2 x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$2 x$

$1$

$8 x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$10 x$

$24$

Passaggio 8.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $8 x^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

					$4 x^{3}$
	$2 x$	-	$1$		$8 x^{4}$	-	$14 x^{3}$	-	$71 x^{2}$	-	$10 x$	+	$24$

Passaggio 8.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$4 x^{3}$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{4}$	-	$14 x^{3}$	-	$71 x^{2}$	-	$10 x$	+	$24$
			+	$8 x^{4}$	-	$4 x^{3}$

Passaggio 8.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $8 x^{4} - 4 x^{3}$

				$4 x^{3}$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{4}$	-	$14 x^{3}$	-	$71 x^{2}$	-	$10 x$	+	$24$
			-	$8 x^{4}$	+	$4 x^{3}$

Passaggio 8.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$4 x^{3}$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{4}$	-	$14 x^{3}$	-	$71 x^{2}$	-	$10 x$	+	$24$
			-	$8 x^{4}$	+	$4 x^{3}$
					-	$10 x^{3}$

Passaggio 8.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$4 x^{3}$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{4}$	-	$14 x^{3}$	-	$71 x^{2}$	-	$10 x$	+	$24$
			-	$8 x^{4}$	+	$4 x^{3}$
					-	$10 x^{3}$	-	$71 x^{2}$

Passaggio 8.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 10 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

				$4 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{4}$	-	$14 x^{3}$	-	$71 x^{2}$	-	$10 x$	+	$24$
			-	$8 x^{4}$	+	$4 x^{3}$
					-	$10 x^{3}$	-	$71 x^{2}$

Passaggio 8.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$4 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{4}$	-	$14 x^{3}$	-	$71 x^{2}$	-	$10 x$	+	$24$
			-	$8 x^{4}$	+	$4 x^{3}$
					-	$10 x^{3}$	-	$71 x^{2}$
					-	$10 x^{3}$	+	$5 x^{2}$

Passaggio 8.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 10 x^{3} + 5 x^{2}$

				$4 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{4}$	-	$14 x^{3}$	-	$71 x^{2}$	-	$10 x$	+	$24$
			-	$8 x^{4}$	+	$4 x^{3}$
					-	$10 x^{3}$	-	$71 x^{2}$
					+	$10 x^{3}$	-	$5 x^{2}$

Passaggio 8.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$4 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{4}$	-	$14 x^{3}$	-	$71 x^{2}$	-	$10 x$	+	$24$
			-	$8 x^{4}$	+	$4 x^{3}$
					-	$10 x^{3}$	-	$71 x^{2}$
					+	$10 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
							-	$76 x^{2}$

Passaggio 8.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$4 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{4}$	-	$14 x^{3}$	-	$71 x^{2}$	-	$10 x$	+	$24$
			-	$8 x^{4}$	+	$4 x^{3}$
					-	$10 x^{3}$	-	$71 x^{2}$
					+	$10 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
							-	$76 x^{2}$	-	$10 x$

Passaggio 8.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 76 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

				$4 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$38 x$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{4}$	-	$14 x^{3}$	-	$71 x^{2}$	-	$10 x$	+	$24$
			-	$8 x^{4}$	+	$4 x^{3}$
					-	$10 x^{3}$	-	$71 x^{2}$
					+	$10 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
							-	$76 x^{2}$	-	$10 x$

Passaggio 8.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$4 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$38 x$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{4}$	-	$14 x^{3}$	-	$71 x^{2}$	-	$10 x$	+	$24$
			-	$8 x^{4}$	+	$4 x^{3}$
					-	$10 x^{3}$	-	$71 x^{2}$
					+	$10 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
							-	$76 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$76 x^{2}$	+	$38 x$

Passaggio 8.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 76 x^{2} + 38 x$

				$4 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$38 x$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{4}$	-	$14 x^{3}$	-	$71 x^{2}$	-	$10 x$	+	$24$
			-	$8 x^{4}$	+	$4 x^{3}$
					-	$10 x^{3}$	-	$71 x^{2}$
					+	$10 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
							-	$76 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$76 x^{2}$	-	$38 x$

Passaggio 8.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$4 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$38 x$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{4}$	-	$14 x^{3}$	-	$71 x^{2}$	-	$10 x$	+	$24$
			-	$8 x^{4}$	+	$4 x^{3}$
					-	$10 x^{3}$	-	$71 x^{2}$
					+	$10 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
							-	$76 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$76 x^{2}$	-	$38 x$
									-	$48 x$

Passaggio 8.1.5.16

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$4 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$38 x$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{4}$	-	$14 x^{3}$	-	$71 x^{2}$	-	$10 x$	+	$24$
			-	$8 x^{4}$	+	$4 x^{3}$
					-	$10 x^{3}$	-	$71 x^{2}$
					+	$10 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
							-	$76 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$76 x^{2}$	-	$38 x$
									-	$48 x$	+	$24$

Passaggio 8.1.5.17

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 48 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

				$4 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$38 x$	-	$24$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{4}$	-	$14 x^{3}$	-	$71 x^{2}$	-	$10 x$	+	$24$
			-	$8 x^{4}$	+	$4 x^{3}$
					-	$10 x^{3}$	-	$71 x^{2}$
					+	$10 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
							-	$76 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$76 x^{2}$	-	$38 x$
									-	$48 x$	+	$24$

Passaggio 8.1.5.18

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$4 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$38 x$	-	$24$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{4}$	-	$14 x^{3}$	-	$71 x^{2}$	-	$10 x$	+	$24$
			-	$8 x^{4}$	+	$4 x^{3}$
					-	$10 x^{3}$	-	$71 x^{2}$
					+	$10 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
							-	$76 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$76 x^{2}$	-	$38 x$
									-	$48 x$	+	$24$
									-	$48 x$	+	$24$

Passaggio 8.1.5.19

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 48 x + 24$

				$4 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$38 x$	-	$24$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{4}$	-	$14 x^{3}$	-	$71 x^{2}$	-	$10 x$	+	$24$
			-	$8 x^{4}$	+	$4 x^{3}$
					-	$10 x^{3}$	-	$71 x^{2}$
					+	$10 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
							-	$76 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$76 x^{2}$	-	$38 x$
									-	$48 x$	+	$24$
									+	$48 x$	-	$24$

Passaggio 8.1.5.20

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$4 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$38 x$	-	$24$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{4}$	-	$14 x^{3}$	-	$71 x^{2}$	-	$10 x$	+	$24$
			-	$8 x^{4}$	+	$4 x^{3}$
					-	$10 x^{3}$	-	$71 x^{2}$
					+	$10 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
							-	$76 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$76 x^{2}$	-	$38 x$
									-	$48 x$	+	$24$
									+	$48 x$	-	$24$
												$0$

Passaggio 8.1.5.21

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$4 x^{3} - 5 x^{2} - 38 x - 24$

Passaggio 8.1.6

Scrivi $8 x^{4} - 14 x^{3} - 71 x^{2} - 10 x + 24$ come insieme di fattori.

$(2 x - 1) (4 x^{3} - 5 x^{2} - 38 x - 24) = 0$

Passaggio 8.2

Scomponi $4 x^{3} - 5 x^{2} - 38 x - 24$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Passaggio 8.2.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 24, \pm 6, \pm 12, \pm 2, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5, \pm 8, \pm 4$

Passaggio 8.2.3

Sostituisci $- 2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 2$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Sostituisci $- 2$ nel polinomio.

$4 {(- 2)}^{3} - 5 {(- 2)}^{2} - 38 \cdot - 2 - 24$

Passaggio 8.2.3.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$4 \cdot - 8 - 5 {(- 2)}^{2} - 38 \cdot - 2 - 24$

Passaggio 8.2.3.3

Moltiplica $4$ per $- 8$ .

$- 32 - 5 {(- 2)}^{2} - 38 \cdot - 2 - 24$

Passaggio 8.2.3.4

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$- 32 - 5 \cdot 4 - 38 \cdot - 2 - 24$

Passaggio 8.2.3.5

Moltiplica $- 5$ per $4$ .

$- 32 - 20 - 38 \cdot - 2 - 24$

Passaggio 8.2.3.6

Sottrai $20$ da $- 32$ .

$- 52 - 38 \cdot - 2 - 24$

Passaggio 8.2.3.7

Moltiplica $- 38$ per $- 2$ .

$- 52 + 76 - 24$

Passaggio 8.2.3.8

Somma $- 52$ e $76$ .

$24 - 24$

Passaggio 8.2.3.9

Sottrai $24$ da $24$ .

$0$

Passaggio 8.2.4

Poiché $- 2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{4 x^{3} - 5 x^{2} - 38 x - 24}{x + 2}$

Passaggio 8.2.5

Dividi $4 x^{3} - 5 x^{2} - 38 x - 24$ per $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$2$

$4 x^{3}$

$5 x^{2}$

$38 x$

$24$

Passaggio 8.2.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $4 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$4 x^{2}$
	$x$	+	$2$		$4 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$38 x$	-	$24$

Passaggio 8.2.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$4 x^{2}$
$x$	+	$2$		$4 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$38 x$	-	$24$
			+	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$

Passaggio 8.2.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $4 x^{3} + 8 x^{2}$

				$4 x^{2}$
$x$	+	$2$		$4 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$38 x$	-	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$

Passaggio 8.2.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$4 x^{2}$
$x$	+	$2$		$4 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$38 x$	-	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$

Passaggio 8.2.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$4 x^{2}$
$x$	+	$2$		$4 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$38 x$	-	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	-	$38 x$

Passaggio 8.2.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 13 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$4 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	+	$2$		$4 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$38 x$	-	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	-	$38 x$

Passaggio 8.2.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$4 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	+	$2$		$4 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$38 x$	-	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	-	$38 x$
					-	$13 x^{2}$	-	$26 x$

Passaggio 8.2.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 13 x^{2} - 26 x$

				$4 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	+	$2$		$4 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$38 x$	-	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	-	$38 x$
					+	$13 x^{2}$	+	$26 x$

Passaggio 8.2.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$4 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	+	$2$		$4 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$38 x$	-	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	-	$38 x$
					+	$13 x^{2}$	+	$26 x$
							-	$12 x$

Passaggio 8.2.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$4 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	+	$2$		$4 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$38 x$	-	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	-	$38 x$
					+	$13 x^{2}$	+	$26 x$
							-	$12 x$	-	$24$

Passaggio 8.2.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 12 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$4 x^{2}$	-	$13 x$	-	$12$
$x$	+	$2$		$4 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$38 x$	-	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	-	$38 x$
					+	$13 x^{2}$	+	$26 x$
							-	$12 x$	-	$24$

Passaggio 8.2.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$4 x^{2}$	-	$13 x$	-	$12$
$x$	+	$2$		$4 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$38 x$	-	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	-	$38 x$
					+	$13 x^{2}$	+	$26 x$
							-	$12 x$	-	$24$
							-	$12 x$	-	$24$

Passaggio 8.2.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 12 x - 24$

				$4 x^{2}$	-	$13 x$	-	$12$
$x$	+	$2$		$4 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$38 x$	-	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	-	$38 x$
					+	$13 x^{2}$	+	$26 x$
							-	$12 x$	-	$24$
							+	$12 x$	+	$24$

Passaggio 8.2.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$4 x^{2}$	-	$13 x$	-	$12$
$x$	+	$2$		$4 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$38 x$	-	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	-	$38 x$
					+	$13 x^{2}$	+	$26 x$
							-	$12 x$	-	$24$
							+	$12 x$	+	$24$
										$0$

Passaggio 8.2.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$4 x^{2} - 13 x - 12$

Passaggio 8.2.6

Scrivi $4 x^{3} - 5 x^{2} - 38 x - 24$ come insieme di fattori.

$(2 x - 1) ((x + 2) (4 x^{2} - 13 x - 12)) = 0$

Passaggio 8.3

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 4 \cdot - 12 = - 48$ e la cui somma è $b = - 13$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.1.1

Scomponi $- 13$ da $- 13 x$ .

$(2 x - 1) ((x + 2) (4 x^{2} - 13 x - 12)) = 0$

Passaggio 8.3.1.1.1.2

Riscrivi $- 13$ come $3$ più $- 16$ .

$(2 x - 1) ((x + 2) (4 x^{2} + (3 - 16) x - 12)) = 0$

Passaggio 8.3.1.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$(2 x - 1) ((x + 2) (4 x^{2} + 3 x - 16 x - 12)) = 0$

Passaggio 8.3.1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(2 x - 1) ((x + 2) ((4 x^{2} + 3 x) - 16 x - 12)) = 0$

Passaggio 8.3.1.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(2 x - 1) ((x + 2) (x (4 x + 3) - 4 (4 x + 3))) = 0$

Passaggio 8.3.1.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $4 x + 3$ .

$(2 x - 1) ((x + 2) ((4 x + 3) (x - 4))) = 0$

Passaggio 8.3.1.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(2 x - 1) ((x + 2) (4 x + 3) (x - 4)) = 0$

Passaggio 8.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(2 x - 1) (x + 2) (4 x + 3) (x - 4) = 0$

Passaggio 9

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$4 x + 3 = 0$

$x - 4 = 0$

Passaggio 10

Imposta $2 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Imposta $2 x - 1$ uguale a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Passaggio 10.2

Risolvi $2 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 1$

Passaggio 10.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 10.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 10.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 11

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 11.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 12

Imposta $4 x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Imposta $4 x + 3$ uguale a $0$ .

$4 x + 3 = 0$

Passaggio 12.2

Risolvi $4 x + 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = - 3$

Passaggio 12.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = - 3$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Passaggio 12.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Passaggio 12.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 3}{4}$

Passaggio 12.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{3}{4}$

Passaggio 13

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 13.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 14

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 x - 1) (x + 2) (4 x + 3) (x - 4) = 0$ vera.

$x = \frac{1}{2}, - 2, - \frac{3}{4}, 4$

Passaggio 15