Precalcolo Esempi

$6 x^{2} - 7 x - 20$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{6}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm 4, \pm \frac{4}{3}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{5}{3}, \pm \frac{5}{6}, \pm 10, \pm \frac{10}{3}, \pm 20, \pm \frac{20}{3}$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

$6 {(\frac{5}{2})}^{2} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = \frac{5}{2}$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{2}$ .

$6 \frac{5^{2}}{2^{2}} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Passaggio 4.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$6 \frac{25}{2^{2}} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Passaggio 4.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$6 (\frac{25}{4}) - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Passaggio 4.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.1.4.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$2 (3) \frac{25}{4} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Passaggio 4.1.4.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$2 \cdot 3 \frac{25}{2 \cdot 2} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Passaggio 4.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 3 \frac{25}{2 \cdot 2} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Passaggio 4.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$3 (\frac{25}{2}) - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Passaggio 4.1.5

$3$ e $\frac{25}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 25}{2} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Passaggio 4.1.6

Moltiplica $3$ per $25$ .

$\frac{75}{2} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Passaggio 4.1.7

Moltiplica $- 7 (\frac{5}{2})$ .

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Passaggio 4.1.7.1

$- 7$ e $\frac{5}{2}$ .

$\frac{75}{2} + \frac{- 7 \cdot 5}{2} - 20$

Passaggio 4.1.7.2

Moltiplica $- 7$ per $5$ .

$\frac{75}{2} + \frac{- 35}{2} - 20$

Passaggio 4.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{75}{2} - \frac{35}{2} - 20$

Passaggio 4.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 20 + \frac{75 - 35}{2}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.2.2.1

Sottrai $35$ da $75$ .

$- 20 + \frac{40}{2}$

Passaggio 4.2.2.2

Dividi $40$ per $2$ .

$- 20 + 20$

Passaggio 4.2.2.3

Somma $- 20$ e $20$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $\frac{5}{2}$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - \frac{5}{2}$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{6 x^{2} - 7 x - 20}{x - \frac{5}{2}}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$\frac{5}{2}$	$6$	$- 7$	$- 20$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(6)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$\frac{5}{2}$	$6$	$- 7$	$- 20$

	$6$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(6)$ per il divisore $(\frac{5}{2})$ e posiziona il risultato di $(15)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 7)$ .

$\frac{5}{2}$	$6$	$- 7$	$- 20$
		$15$
	$6$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$\frac{5}{2}$	$6$	$- 7$	$- 20$
		$15$
	$6$	$8$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(8)$ per il divisore $(\frac{5}{2})$ e posiziona il risultato di $(20)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 20)$ .

$\frac{5}{2}$	$6$	$- 7$	$- 20$
		$15$	$20$
	$6$	$8$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$\frac{5}{2}$	$6$	$- 7$	$- 20$
		$15$	$20$
	$6$	$8$	$0$

Passaggio 6.7

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$(6) x + 8$

Passaggio 6.8

Semplifica il polinomio quoziente.

$6 x + 8$

Passaggio 7

Scomponi $2$ da $6 x + 8$ .

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Passaggio 7.1

Scomponi $2$ da $6 x$ .

$(x - \frac{5}{2}) (2 (3 x) + 8)$

Passaggio 7.2

Scomponi $2$ da $8$ .

$(x - \frac{5}{2}) (2 (3 x) + 2 (4))$

Passaggio 7.3

Scomponi $2$ da $2 (3 x) + 2 (4)$ .

$(x - \frac{5}{2}) (2 (3 x + 4))$

Passaggio 8

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 8.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 6 \cdot - 20 = - 120$ e la cui somma è $b = - 7$ .

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Passaggio 8.1.1

Scomponi $- 7$ da $- 7 x$ .

$6 x^{2} - 7 x - 20 = 0$

Passaggio 8.1.2

Riscrivi $- 7$ come $8$ più $- 15$ .

$6 x^{2} + (8 - 15) x - 20 = 0$

Passaggio 8.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$6 x^{2} + 8 x - 15 x - 20 = 0$

Passaggio 8.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 8.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(6 x^{2} + 8 x) - 15 x - 20 = 0$

Passaggio 8.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$2 x (3 x + 4) - 5 (3 x + 4) = 0$

Passaggio 8.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 x + 4$ .

$(3 x + 4) (2 x - 5) = 0$

Passaggio 9

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 x + 4 = 0$

$2 x - 5 = 0$

Passaggio 10

Imposta $3 x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 10.1

Imposta $3 x + 4$ uguale a $0$ .

$3 x + 4 = 0$

Passaggio 10.2

Risolvi $3 x + 4 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 10.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = - 4$

Passaggio 10.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 4$ e semplifica.

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Passaggio 10.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 4$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Passaggio 10.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Passaggio 10.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Passaggio 10.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 10.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{4}{3}$

Passaggio 11

Imposta $2 x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 11.1

Imposta $2 x - 5$ uguale a $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Passaggio 11.2

Risolvi $2 x - 5 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 11.2.1

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 5$

Passaggio 11.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 5$ e semplifica.

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Passaggio 11.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 5$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Passaggio 11.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 11.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Passaggio 11.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Passaggio 12

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(3 x + 4) (2 x - 5) = 0$ vera.

$x = - \frac{4}{3}, \frac{5}{2}$

Passaggio 13