Precalcolo Esempi

$6 x^{4} - 11 x^{3} - 51 x^{2} + 99 x - 27$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 9, \pm 27$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{6}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 9, \pm \frac{9}{2}, \pm 27, \pm \frac{27}{2}$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

$6 {(3)}^{4} - 11 {(3)}^{3} - 51 {(3)}^{2} + 99 (3) - 27$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = 3$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$6 \cdot 81 - 11 {(3)}^{3} - 51 {(3)}^{2} + 99 (3) - 27$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $6$ per $81$ .

$486 - 11 {(3)}^{3} - 51 {(3)}^{2} + 99 (3) - 27$

Passaggio 4.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$486 - 11 \cdot 27 - 51 {(3)}^{2} + 99 (3) - 27$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $- 11$ per $27$ .

$486 - 297 - 51 {(3)}^{2} + 99 (3) - 27$

Passaggio 4.1.5

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$486 - 297 - 51 \cdot 9 + 99 (3) - 27$

Passaggio 4.1.6

Moltiplica $- 51$ per $9$ .

$486 - 297 - 459 + 99 (3) - 27$

Passaggio 4.1.7

Moltiplica $99$ per $3$ .

$486 - 297 - 459 + 297 - 27$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sottrai $297$ da $486$ .

$189 - 459 + 297 - 27$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $459$ da $189$ .

$- 270 + 297 - 27$

Passaggio 4.2.3

Somma $- 270$ e $297$ .

$27 - 27$

Passaggio 4.2.4

Sottrai $27$ da $27$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $3$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 3$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{6 x^{4} - 11 x^{3} - 51 x^{2} + 99 x - 27}{x - 3}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$3$	$6$	$- 11$	$- 51$	$99$	$- 27$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(6)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$3$	$6$	$- 11$	$- 51$	$99$	$- 27$

	$6$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(6)$ per il divisore $(3)$ e posiziona il risultato di $(18)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 11)$ .

$3$	$6$	$- 11$	$- 51$	$99$	$- 27$
		$18$
	$6$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$3$	$6$	$- 11$	$- 51$	$99$	$- 27$
		$18$
	$6$	$7$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(7)$ per il divisore $(3)$ e posiziona il risultato di $(21)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 51)$ .

$3$	$6$	$- 11$	$- 51$	$99$	$- 27$
		$18$	$21$
	$6$	$7$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$3$	$6$	$- 11$	$- 51$	$99$	$- 27$
		$18$	$21$
	$6$	$7$	$- 30$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 30)$ per il divisore $(3)$ e posiziona il risultato di $(- 90)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(99)$ .

$3$	$6$	$- 11$	$- 51$	$99$	$- 27$
		$18$	$21$	$- 90$
	$6$	$7$	$- 30$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$3$	$6$	$- 11$	$- 51$	$99$	$- 27$
		$18$	$21$	$- 90$
	$6$	$7$	$- 30$	$9$

Passaggio 6.9

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(9)$ per il divisore $(3)$ e posiziona il risultato di $(27)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 27)$ .

$3$	$6$	$- 11$	$- 51$	$99$	$- 27$
		$18$	$21$	$- 90$	$27$
	$6$	$7$	$- 30$	$9$

Passaggio 6.10

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$3$	$6$	$- 11$	$- 51$	$99$	$- 27$
		$18$	$21$	$- 90$	$27$
	$6$	$7$	$- 30$	$9$	$0$

Passaggio 6.11

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$6 x^{3} + 7 x^{2} + (- 30) x + 9$

Passaggio 6.12

Semplifica il polinomio quoziente.

$6 x^{3} + 7 x^{2} - 30 x + 9$

Passaggio 7

Risolvi l'equazione per trovare tutte le radici rimanenti.

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Passaggio 7.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Scomponi $6 x^{3} + 7 x^{2} - 30 x + 9$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 7.1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Passaggio 7.1.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.5, \pm 0.\overline{3}, \pm 9, \pm 1.5, \pm 4.5, \pm 3$

Passaggio 7.1.1.3

Sostituisci $0.\overline{3}$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $0.\overline{3}$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 7.1.1.3.1

Sostituisci $0.\overline{3}$ nel polinomio.

$6 \cdot {0.\overline{3}}^{3} + 7 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 30 \cdot 0.\overline{3} + 9$

Passaggio 7.1.1.3.2

Eleva $0.\overline{3}$ alla potenza di $3$ .

$6 \cdot 0.\overline{037} + 7 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 30 \cdot 0.\overline{3} + 9$

Passaggio 7.1.1.3.3

Moltiplica $6$ per $0.\overline{037}$ .

$0.\overline{2} + 7 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 30 \cdot 0.\overline{3} + 9$

Passaggio 7.1.1.3.4

Eleva $0.\overline{3}$ alla potenza di $2$ .

$0.\overline{2} + 7 \cdot 0.\overline{1} - 30 \cdot 0.\overline{3} + 9$

Passaggio 7.1.1.3.5

Moltiplica $7$ per $0.\overline{1}$ .

$0.\overline{2} + 0.\overline{7} - 30 \cdot 0.\overline{3} + 9$

Passaggio 7.1.1.3.6

Somma $0.\overline{2}$ e $0.\overline{7}$ .

$1 - 30 \cdot 0.\overline{3} + 9$

Passaggio 7.1.1.3.7

Moltiplica $- 30$ per $0.\overline{3}$ .

$1 - 10 + 9$

Passaggio 7.1.1.3.8

Sottrai $10$ da $1$ .

$- 9 + 9$

Passaggio 7.1.1.3.9

Somma $- 9$ e $9$ .

$0$

Passaggio 7.1.1.4

Poiché $0.\overline{3}$ è una radice nota, dividi il polinomio per $3 x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{6 x^{3} + 7 x^{2} - 30 x + 9}{3 x - 1}$

Passaggio 7.1.1.5

Dividi $6 x^{3} + 7 x^{2} - 30 x + 9$ per $3 x - 1$ .

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Passaggio 7.1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$3 x$

$1$

$6 x^{3}$

$7 x^{2}$

$30 x$

$9$

Passaggio 7.1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $6 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

					$2 x^{2}$
	$3 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$30 x$	+	$9$

Passaggio 7.1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$30 x$	+	$9$
			+	$6 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Passaggio 7.1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $6 x^{3} - 2 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$30 x$	+	$9$
			-	$6 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Passaggio 7.1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$30 x$	+	$9$
			-	$6 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$

Passaggio 7.1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$2 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$30 x$	+	$9$
			-	$6 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$30 x$

Passaggio 7.1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $9 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$30 x$	+	$9$
			-	$6 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$30 x$

Passaggio 7.1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$30 x$	+	$9$
			-	$6 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$

Passaggio 7.1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $9 x^{2} - 3 x$

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$30 x$	+	$9$
			-	$6 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$30 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$3 x$

Passaggio 7.1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$30 x$	+	$9$
			-	$6 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$30 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$27 x$

Passaggio 7.1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$30 x$	+	$9$
			-	$6 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$30 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$27 x$	+	$9$

Passaggio 7.1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 27 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$9$
$3 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$30 x$	+	$9$
			-	$6 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$30 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$27 x$	+	$9$

Passaggio 7.1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$9$
$3 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$30 x$	+	$9$
			-	$6 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$30 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$27 x$	+	$9$
							-	$27 x$	+	$9$

Passaggio 7.1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 27 x + 9$

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$9$
$3 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$30 x$	+	$9$
			-	$6 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$30 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$27 x$	+	$9$
							+	$27 x$	-	$9$

Passaggio 7.1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$9$
$3 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$30 x$	+	$9$
			-	$6 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$30 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$27 x$	+	$9$
							+	$27 x$	-	$9$
										$0$

Passaggio 7.1.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$2 x^{2} + 3 x - 9$

Passaggio 7.1.1.6

Scrivi $6 x^{3} + 7 x^{2} - 30 x + 9$ come insieme di fattori.

$(3 x - 1) (2 x^{2} + 3 x - 9) = 0$

Passaggio 7.1.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 9 = - 18$ e la cui somma è $b = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1.1.1

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$(3 x - 1) (2 x^{2} + 3 (x) - 9) = 0$

Passaggio 7.1.2.1.1.2

Riscrivi $3$ come $- 3$ più $6$ .

$(3 x - 1) (2 x^{2} + (- 3 + 6) x - 9) = 0$

Passaggio 7.1.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$(3 x - 1) (2 x^{2} - 3 x + 6 x - 9) = 0$

Passaggio 7.1.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(3 x - 1) ((2 x^{2} - 3 x) + 6 x - 9) = 0$

Passaggio 7.1.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(3 x - 1) (x (2 x - 3) + 3 (2 x - 3)) = 0$

Passaggio 7.1.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x - 3$ .

$(3 x - 1) ((2 x - 3) (x + 3)) = 0$

Passaggio 7.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(3 x - 1) (2 x - 3) (x + 3) = 0$

Passaggio 7.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$2 x - 3 = 0$

$x + 3 = 0$

Passaggio 7.3

Imposta $3 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Imposta $3 x - 1$ uguale a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Passaggio 7.3.2

Risolvi $3 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 1$

Passaggio 7.3.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 1$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 7.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 7.3.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Passaggio 7.4

Imposta $2 x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Imposta $2 x - 3$ uguale a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Passaggio 7.4.2

Risolvi $2 x - 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 3$

Passaggio 7.4.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 3$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Passaggio 7.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Passaggio 7.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Passaggio 7.5

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 7.5.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 7.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(3 x - 1) (2 x - 3) (x + 3) = 0$ vera.

$x = \frac{1}{3}, \frac{3}{2}, - 3$

Passaggio 8

Il polinomio può essere scritto come un insieme di fattori lineari.

$(x - 3) (x - \frac{1}{3}) (x - \frac{3}{2}) (x + 3)$

Passaggio 9

Queste sono le radici (zero) del polinomio $6 x^{4} - 11 x^{3} - 51 x^{2} + 99 x - 27$ .

$x = 3, \frac{1}{3}, \frac{3}{2}, - 3$

Passaggio 10