Precalcolo Esempi

$25 t^{3} - 65 t^{2} + 71 t + 17$

Passaggio 1

Scomponi $25 t^{3} - 65 t^{2} + 71 t + 17$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 17$

$q = \pm 1, \pm 25, \pm 5$

Passaggio 1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.04, \pm 0.2, \pm 17, \pm 0.68, \pm 3.4$

Passaggio 1.3

Sostituisci $- 0.2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 0.2$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $- 0.2$ nel polinomio.

$25 {(- 0.2)}^{3} - 65 {(- 0.2)}^{2} + 71 \cdot - 0.2 + 17$

Passaggio 1.3.2

Eleva $- 0.2$ alla potenza di $3$ .

$25 \cdot - 0.008 - 65 {(- 0.2)}^{2} + 71 \cdot - 0.2 + 17$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $25$ per $- 0.008$ .

$- 0.2 - 65 {(- 0.2)}^{2} + 71 \cdot - 0.2 + 17$

Passaggio 1.3.4

Eleva $- 0.2$ alla potenza di $2$ .

$- 0.2 - 65 \cdot 0.04 + 71 \cdot - 0.2 + 17$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $- 65$ per $0.04$ .

$- 0.2 - 2.6 + 71 \cdot - 0.2 + 17$

Passaggio 1.3.6

Sottrai $2.6$ da $- 0.2$ .

$- 2.8 + 71 \cdot - 0.2 + 17$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $71$ per $- 0.2$ .

$- 2.8 - 14.2 + 17$

Passaggio 1.3.8

Sottrai $14.2$ da $- 2.8$ .

$- 17 + 17$

Passaggio 1.3.9

Somma $- 17$ e $17$ .

$0$

Passaggio 1.4

Poiché $- 0.2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $5 t + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{25 t^{3} - 65 t^{2} + 71 t + 17}{5 t + 1}$

Passaggio 1.5

Dividi $25 t^{3} - 65 t^{2} + 71 t + 17$ per $5 t + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$5 t$

$1$

$25 t^{3}$

$65 t^{2}$

$71 t$

$17$

Passaggio 1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $25 t^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $5 t$ .

					$5 t^{2}$
	$5 t$	+	$1$		$25 t^{3}$	-	$65 t^{2}$	+	$71 t$	+	$17$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$5 t^{2}$
$5 t$	+	$1$		$25 t^{3}$	-	$65 t^{2}$	+	$71 t$	+	$17$
			+	$25 t^{3}$	+	$5 t^{2}$

Passaggio 1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $25 t^{3} + 5 t^{2}$

				$5 t^{2}$
$5 t$	+	$1$		$25 t^{3}$	-	$65 t^{2}$	+	$71 t$	+	$17$
			-	$25 t^{3}$	-	$5 t^{2}$

Passaggio 1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$5 t^{2}$
$5 t$	+	$1$		$25 t^{3}$	-	$65 t^{2}$	+	$71 t$	+	$17$
			-	$25 t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$70 t^{2}$

Passaggio 1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$5 t^{2}$
$5 t$	+	$1$		$25 t^{3}$	-	$65 t^{2}$	+	$71 t$	+	$17$
			-	$25 t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$70 t^{2}$	+	$71 t$

Passaggio 1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 70 t^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $5 t$ .

				$5 t^{2}$	-	$14 t$
$5 t$	+	$1$		$25 t^{3}$	-	$65 t^{2}$	+	$71 t$	+	$17$
			-	$25 t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$70 t^{2}$	+	$71 t$

Passaggio 1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$5 t^{2}$	-	$14 t$
$5 t$	+	$1$		$25 t^{3}$	-	$65 t^{2}$	+	$71 t$	+	$17$
			-	$25 t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$70 t^{2}$	+	$71 t$
					-	$70 t^{2}$	-	$14 t$

Passaggio 1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 70 t^{2} - 14 t$

				$5 t^{2}$	-	$14 t$
$5 t$	+	$1$		$25 t^{3}$	-	$65 t^{2}$	+	$71 t$	+	$17$
			-	$25 t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$70 t^{2}$	+	$71 t$
					+	$70 t^{2}$	+	$14 t$

Passaggio 1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$5 t^{2}$	-	$14 t$
$5 t$	+	$1$		$25 t^{3}$	-	$65 t^{2}$	+	$71 t$	+	$17$
			-	$25 t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$70 t^{2}$	+	$71 t$
					+	$70 t^{2}$	+	$14 t$
							+	$85 t$

Passaggio 1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$5 t^{2}$	-	$14 t$
$5 t$	+	$1$		$25 t^{3}$	-	$65 t^{2}$	+	$71 t$	+	$17$
			-	$25 t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$70 t^{2}$	+	$71 t$
					+	$70 t^{2}$	+	$14 t$
							+	$85 t$	+	$17$

Passaggio 1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $85 t$ per il termine di ordine più alto nel divisore $5 t$ .

				$5 t^{2}$	-	$14 t$	+	$17$
$5 t$	+	$1$		$25 t^{3}$	-	$65 t^{2}$	+	$71 t$	+	$17$
			-	$25 t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$70 t^{2}$	+	$71 t$
					+	$70 t^{2}$	+	$14 t$
							+	$85 t$	+	$17$

Passaggio 1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$5 t^{2}$	-	$14 t$	+	$17$
$5 t$	+	$1$		$25 t^{3}$	-	$65 t^{2}$	+	$71 t$	+	$17$
			-	$25 t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$70 t^{2}$	+	$71 t$
					+	$70 t^{2}$	+	$14 t$
							+	$85 t$	+	$17$
							+	$85 t$	+	$17$

Passaggio 1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $85 t + 17$

				$5 t^{2}$	-	$14 t$	+	$17$
$5 t$	+	$1$		$25 t^{3}$	-	$65 t^{2}$	+	$71 t$	+	$17$
			-	$25 t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$70 t^{2}$	+	$71 t$
					+	$70 t^{2}$	+	$14 t$
							+	$85 t$	+	$17$
							-	$85 t$	-	$17$

Passaggio 1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$5 t^{2}$	-	$14 t$	+	$17$
$5 t$	+	$1$		$25 t^{3}$	-	$65 t^{2}$	+	$71 t$	+	$17$
			-	$25 t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$70 t^{2}$	+	$71 t$
					+	$70 t^{2}$	+	$14 t$
							+	$85 t$	+	$17$
							-	$85 t$	-	$17$
										$0$

Passaggio 1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$5 t^{2} - 14 t + 17$

Passaggio 1.6

Scrivi $25 t^{3} - 65 t^{2} + 71 t + 17$ come insieme di fattori.

$(5 t + 1) (5 t^{2} - 14 t + 17) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$5 t + 1 = 0$

$5 t^{2} - 14 t + 17 = 0$

Passaggio 3

Imposta $5 t + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta $5 t + 1$ uguale a $0$ .

$5 t + 1 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $5 t + 1 = 0$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$5 t = - 1$

Passaggio 3.2.2

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 t = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 t = - 1$ .

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 1}{5}$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 1}{5}$

Passaggio 3.2.2.2.1.2

Dividi $t$ per $1$ .

$t = \frac{- 1}{5}$

Passaggio 3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$t = - \frac{1}{5}$

Passaggio 4

Imposta $5 t^{2} - 14 t + 17$ uguale a $0$ e risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta $5 t^{2} - 14 t + 17$ uguale a $0$ .

$5 t^{2} - 14 t + 17 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $5 t^{2} - 14 t + 17 = 0$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4.2.2

Sostituisci i valori $a = 5$ , $b = - 14$ e $c = 17$ nella formula quadratica e risolvi per $t$ .

$\frac{14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (5 \cdot 17)}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.1

Eleva $- 14$ alla potenza di $2$ .

$t = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 5 \cdot 17}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 4.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 5 \cdot 17$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $5$ .

$t = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 20 \cdot 17}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 4.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 20$ per $17$ .

$t = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 340}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 4.2.3.1.3

Sottrai $340$ da $196$ .

$t = \frac{14 \pm \sqrt{- 144}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 4.2.3.1.4

Riscrivi $- 144$ come $- 1 (144)$ .

$t = \frac{14 \pm \sqrt{- 1 \cdot 144}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 4.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (144)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{144}$ .

$t = \frac{14 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{144}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 4.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$t = \frac{14 \pm i \cdot \sqrt{144}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 4.2.3.1.7

Riscrivi $144$ come $12^{2}$ .

$t = \frac{14 \pm i \cdot \sqrt{12^{2}}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 4.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$t = \frac{14 \pm i \cdot 12}{2 \cdot 5}$

Passaggio 4.2.3.1.9

Sposta $12$ alla sinistra di $i$ .

$t = \frac{14 \pm 12 i}{2 \cdot 5}$

Passaggio 4.2.3.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$t = \frac{14 \pm 12 i}{10}$

Passaggio 4.2.3.3

Semplifica $\frac{14 \pm 12 i}{10}$ .

$t = \frac{7 \pm 6 i}{5}$

Passaggio 4.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1.1

Eleva $- 14$ alla potenza di $2$ .

$t = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 5 \cdot 17}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 4.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 5 \cdot 17$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $5$ .

$t = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 20 \cdot 17}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 4.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 20$ per $17$ .

$t = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 340}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 4.2.4.1.3

Sottrai $340$ da $196$ .

$t = \frac{14 \pm \sqrt{- 144}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 4.2.4.1.4

Riscrivi $- 144$ come $- 1 (144)$ .

$t = \frac{14 \pm \sqrt{- 1 \cdot 144}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 4.2.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (144)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{144}$ .

$t = \frac{14 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{144}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 4.2.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$t = \frac{14 \pm i \cdot \sqrt{144}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 4.2.4.1.7

Riscrivi $144$ come $12^{2}$ .

$t = \frac{14 \pm i \cdot \sqrt{12^{2}}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 4.2.4.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$t = \frac{14 \pm i \cdot 12}{2 \cdot 5}$

Passaggio 4.2.4.1.9

Sposta $12$ alla sinistra di $i$ .

$t = \frac{14 \pm 12 i}{2 \cdot 5}$

Passaggio 4.2.4.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$t = \frac{14 \pm 12 i}{10}$

Passaggio 4.2.4.3

Semplifica $\frac{14 \pm 12 i}{10}$ .

$t = \frac{7 \pm 6 i}{5}$

Passaggio 4.2.4.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$t = \frac{7 + 6 i}{5}$

Passaggio 4.2.4.5

Dividi la frazione $\frac{7 + 6 i}{5}$ in due frazioni.

$t = \frac{7}{5} + \frac{6 i}{5}$

Passaggio 4.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1.1

Eleva $- 14$ alla potenza di $2$ .

$t = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 5 \cdot 17}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 4.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 5 \cdot 17$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $5$ .

$t = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 20 \cdot 17}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 4.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 20$ per $17$ .

$t = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 340}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 4.2.5.1.3

Sottrai $340$ da $196$ .

$t = \frac{14 \pm \sqrt{- 144}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 4.2.5.1.4

Riscrivi $- 144$ come $- 1 (144)$ .

$t = \frac{14 \pm \sqrt{- 1 \cdot 144}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 4.2.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (144)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{144}$ .

$t = \frac{14 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{144}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 4.2.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$t = \frac{14 \pm i \cdot \sqrt{144}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 4.2.5.1.7

Riscrivi $144$ come $12^{2}$ .

$t = \frac{14 \pm i \cdot \sqrt{12^{2}}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 4.2.5.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$t = \frac{14 \pm i \cdot 12}{2 \cdot 5}$

Passaggio 4.2.5.1.9

Sposta $12$ alla sinistra di $i$ .

$t = \frac{14 \pm 12 i}{2 \cdot 5}$

Passaggio 4.2.5.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$t = \frac{14 \pm 12 i}{10}$

Passaggio 4.2.5.3

Semplifica $\frac{14 \pm 12 i}{10}$ .

$t = \frac{7 \pm 6 i}{5}$

Passaggio 4.2.5.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$t = \frac{7 - 6 i}{5}$

Passaggio 4.2.5.5

Dividi la frazione $\frac{7 - 6 i}{5}$ in due frazioni.

$t = \frac{7}{5} + \frac{- 6 i}{5}$

Passaggio 4.2.5.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$t = \frac{7}{5} - \frac{6 i}{5}$

Passaggio 4.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$t = \frac{7}{5} + \frac{6 i}{5}, \frac{7}{5} - \frac{6 i}{5}$

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(5 t + 1) (5 t^{2} - 14 t + 17) = 0$ vera.

$t = - \frac{1}{5}, \frac{7}{5} + \frac{6 i}{5}, \frac{7}{5} - \frac{6 i}{5}$

Passaggio 6